Matematické Fórum

Tse · 04. 02. 2017 11:30

Dobrý den,
prosím o pomoc s řešením tohoto příkladu:
Bez užití L'Hospitalova pravidla a Taylorových polynomů spočtěte limitu $\lim_{x\to2}\frac{\ln \frac{4^x}{(2^x)^2}}{x^3 - 2x^2 + x - 2}$

Ať dělám, co dělám, vede mě to na $\frac{0}{0}$ . Jmenovatel jsem upravila na $(x-2)(x^2 + 1)$ , případně po dosazení na $5(x-2)$ , což ale pořád vede k nule.
Co s tím logaritmem, to už vůbec nevím. Úprava na rozdíl dvou logaritmů moc nikam nevede, zvlášť když jsou oba logaritmy v daném případě shodné. Úprava pomocí ekvivalence na $\frac{4^x}{(2^x)^2} -1$ mi taky moc smysl nedává.
Zkoušela jsem to i rozdělit na limity zprava a zleva, ale pořád to je nula děleno nulou.
Děkuji za reakce.

Eratosthenes · 04. 02. 2017 11:51

ahoj ↑ Tse:,

zkus se zamyslet nad limitami zleva a zprava

Al1 · 04. 02. 2017 11:54

↑ Tse:

Zdravím,

myšlenka výpočtu jednostranných limit je dobrá. Výraz (x-2) pro x jdoucí ke dvěma zprava je "maličko kladný".

Eratosthenes · 04. 02. 2017 11:58

↑ Al1:

:-))

Ale má to háček :-)

Eratosthenes · 04. 02. 2017 12:09

↑ Tse:

Těmi jednostrannými limitami jsem možná spíš zmátl. Takže beru zpět - použij tu identitu. Ona ti dá smysl v okamžiku, kdy se pak zamyslíš nad definicí limity.

Tse · 04. 02. 2017 12:57

↑ Eratosthenes:
Jednostranné limity mi v zásadě vycházejí $\frac{0+}{5*0+}$ , popř. $\frac{0-}{5*0-}$ , takže tudy jsem se nikam nedostala. (Neříkám, že to není možné, jen nevím, jak to jinak upravit).
Co se týče identity, máš na mysli tu "změnu" logaritmu na $\frac{4^x}{(2^x)^2} - 1$ ? Zatím nevím, co s tím, ale pokud je to cesta správným směrem, zkusím ji ještě nějak prozkoumat...

Al1 · 04. 02. 2017 13:34

↑ Tse:, ↑ Eratosthenes:

máte pravdu, výpočet jednostranných limit nevede k cíli. A co tohle? V čitateli úprava na
$x\ln 4-2\ln 4-2x\ln 2+4\ln 2=\ln 4(x-2)-2\ln 2(x-2)=\ldots$

Eratosthenes · 04. 02. 2017 13:36

↑ Tse:

Myslel jsem, že se jedná jenom o překlep, popř. že špatně vidím, ale asi ne. Co znamená

$\frac{4^x}{(2^x)^2} - 1$ ?

Kde se to vzalo a kolik to je?

Eratosthenes · 04. 02. 2017 13:39

↑ Al1:

Proč? Přece

$\ln \frac{4^x}{(2^x)^2}=\ln \frac{4^x}{(2^2)^x}=\ln 1$

Al1 · 04. 02. 2017 13:44

↑ Eratosthenes:

To vím. Já hezky pokrátím výrazem (x-2) a mám výsledek. Ta 0 v čitateli zůstane. Anebo mi něco uniká, což je možné, nejsem úplný expert. :-)

Tse · 04. 02. 2017 13:46

↑ Eratosthenes:
Použila jsem ekvivalenci: $\ln \frac{4^x}{(2^x)^2} = \ln (1+ \frac{4^x}{(2^x)^2} - 1)\approx \frac{4^x}{(2^x)^2} - 1$ (platí, pakliže se výsledný výraz blíží nule, což je tento případ).

Eratosthenes

↑ Al1:

$\lim_{x\to2}\frac{\ln \frac{4^x}{(2^x)^2}}{x^3 - 2x^2 + x - 2} = \lim_{x\to2} \frac {\ln 1} {x^3 - 2x^2 + x - 2} = \lim_{x\to2} \frac 0 {x^3 - 2x^2 + x - 2}=\lim_{x\to2} 0$

Tse · 04. 02. 2017 13:53

↑ Al1:
Tohle vypadá na skvělý trik. Sama jsem dospěla jen k $x\ln 4 - 2x \ln 2$ . Přidávat tam další logaritmy tímto zakukleným způsobem mě tedy vůbec nenapadlo...

Eratosthenes

↑ Tse:

No - úplně nejskvělejší trik je, že celá ta zdánlivě příšerná funkce je identicky rovna nule, kromě té dvojky, kde není definována...

Tse · 04. 02. 2017 14:10

↑ Eratosthenes:
No logicky bych to tak taky řekla (tedy pro nezáporné x), ale pořád nechápu, proč mi z toho GeoGebra i WolframAlpha dělají takovou pěknou křivku s limitou $\frac{-2\ln 2}{5}$

Eratosthenes · 04. 02. 2017 14:16

↑ Tse:

... tak to možná vědí jenom ti, co to programovali....

Tse · 04. 02. 2017 14:17

↑ Eratosthenes: Už mi to došlo. Závorky u exponentů...

Tse · 04. 02. 2017 14:21

Každopádně příklad vyřešen, děkuji za příjemnou diskusi :-)

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2017 11:30

Limita funkce ve vlastním bodě

#2 04. 02. 2017 11:51

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#3 04. 02. 2017 11:54

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#4 04. 02. 2017 11:58

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#5 04. 02. 2017 12:09

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#6 04. 02. 2017 12:57

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#7 04. 02. 2017 13:34

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#8 04. 02. 2017 13:36

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#9 04. 02. 2017 13:39

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#10 04. 02. 2017 13:44

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#11 04. 02. 2017 13:46

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#12 04. 02. 2017 13:48 — Editoval Eratosthenes (04. 02. 2017 13:48)

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#13 04. 02. 2017 13:53

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#14 04. 02. 2017 14:03 — Editoval Eratosthenes (04. 02. 2017 14:03)

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#15 04. 02. 2017 14:10

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#16 04. 02. 2017 14:16

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#17 04. 02. 2017 14:17

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

#18 04. 02. 2017 14:21

Re: Limita funkce ve vlastním bodě

Zápatí