Matematické Fórum

DanDan · 07. 02. 2017 11:07 — Editoval DanDan (07. 02. 2017 11:10)

Rozhodněte, zda je vektorovým prostorem množina polynomů, které mají nějaký racionální kořen. Zdravím, neporadil by mi někdo?

Moje řešení:

Aby se jednalo o vektorový prostor, respektive podprostor, pak musí platit, že sečteme-li libovolné polynomy z této množiny, pak to bude zase polynom do té množiny patřící, to samé platí, pokud polynom vynásobíme skalárem => neboli musí platit uzavřenost na operace.

Když tedy mám nějaký obecný polynom z vyšetřované množiny $p_{i}(x) = (x-\frac{a_i}{b_i})(q_{i}(x)_{})$ , kde a se nesmí rovnat b, aby se jednalo o racionální kořen.

Pak $\alpha p_{1}(x) + \beta p_{2}(x) = (x - \frac{a_1}{b_1})(\alpha q_{1}(x))+ (x - \frac{a_2}{b_2})(\beta q_{2}(x))$ , kde tedy alfa, beta jsou ty skaláry

Ale nevím, jak dále pokračovat, myslím, že to není vektorový prostor, protože není uzavřen na násobením skalárem, tedy pokud by se třeba $\alpha = \frac{b_1}{a_1}$ , ale nejsem si jistý.

Děkuji za případnou pomoc

Rumburak

↑ DanDan:
Ahoj.

Množina všech polynomů s racionálním kořenem či s racionálními kořeny JE uzavřena
na násobení skalárem, protože vynásobení polynomu nenulovým číslem na jeho
kořenech nic nezmění.

Zkusme to jinak. Polynomy $p(x) = x^2 - 1$ , $q(x) = x - 1$ mají racionáln kořeny.

Jak to bude s polynomy tvaru $r(x) = p(x) + \lambda q(x)$ , kde $\lambda$ je reálný parametr ?

Je zde ještě jedna nuance: jak je to s kořeny nulového polynomu ?

DanDan · 07. 02. 2017 11:57

Jistě, já matu obory čísel, ten kořen jen nesmí být iracionální, což není, kořen vždy vyjde odmocnitelný v tom příkladu, co jste ukázal. Takže tedy jde o vektorový prostor?

Rumburak

↑ DanDan:

Příklad, který jsem navrhl, není dobrý. Připadalo mi, že $\lambda$ bude možno
volit tak, aby polynom $r$ měl pouze imag. kořeny. To ale neplatí, jak
podrobným výpočtem zjišťuji.
Jako důkaz hypotézy, že uvažovaná množina polynomů je podprostorem,
to ale nestačí a neočekávám, že tato hypotéza je pravdivá.

Zeptám se: Jak je to u vás s kořeny nulového polynomu ? Pokud v teorii máte,
že kořeny nulového polynomu se nezavádějí, pak by řešení naší úlohy bylo triviální:
Množina všech polynomů o jedné proměnné s aspoň jedním racionálním kořenem
nemůže být podprostorem v příslušném prostoru polynomů, protože neobsahuje
nulový polynom, který žádný kořen nemá.

vanok · 07. 02. 2017 14:38

Poznamka
Je mozne nast lin. komb. polynomov $q(x) = x - 1$ $p(x) = x^2 - 1$ aby nemala racionalne korene ( a to aj v pripade racionalnych kombinacii)

Rumburak · 07. 02. 2017 15:50

↑ DanDan:↑ vanok:

Zdravím.

Ještě jednodušší příklad: $p(x) := x^2 , q(x) := x - 1$ a

$r(x) := p(x) + q(x) = x^2 + x -1$ .

Polynomy $p, q$ mají (pouze) racionální kořeny, avšak diskriminant polynomu $r$
je $5$ , z čehož druhá odmocnina je iracionální.

vanok · 07. 02. 2017 17:45

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Ano.
To je pekne zabavne cvicenie.

DanDan · 07. 02. 2017 20:00

Děkuji moc, tedy to není vektorový prostor.

vanok · 07. 02. 2017 20:28

↑ DanDan:,
Mas pravdu. Nie je. A tiez aj keby tvoj priestor bol nad $\Bbb Q$ ani tak by nebol.

Staci ti na to jeden protipriklad. ....a to to dokazuje.

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2017 11:07 — Editoval DanDan (07. 02. 2017 11:10)

Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#2 07. 02. 2017 11:46 — Editoval Rumburak (07. 02. 2017 11:54)

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#3 07. 02. 2017 11:57

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#4 07. 02. 2017 12:25 — Editoval Rumburak (07. 02. 2017 14:11)

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#5 07. 02. 2017 14:38

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#6 07. 02. 2017 15:50

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#7 07. 02. 2017 17:45

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#8 07. 02. 2017 20:00

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

#9 07. 02. 2017 20:28

Re: Vektorový prostor polynomů s racionálním kořenem

Zápatí