Matematické Fórum

symetrala · 06. 02. 2017 14:59

víte někdo přílad množiny M v metriclém prostoru R, která obsahuje izolovaný bod a která má právě 2 hromadné body, z nichž jeden patří do M a jeden nepatří do M.
a pak priklad množ., která nemá ani izol. ani hrom. bod.
Díky

Rumburak

↑ symetrala:

K první úloze:

Zkusme to v množině reálných čísel s běžnou metrikou.
Hledaná množina $M$ by tedy měla obsahovat dvě prosté cauchyovské posloupnosti,
z nichž jedna bude mít limitu v $M$ a druhá nikoliv.
Nic dalšího bych už do množiny $M$ nedával.

Řešení druhé úlohy je triviální, zkus se ještě zamyslet.

symetrala · 07. 02. 2017 17:47

↑ Rumburak:
Vůbec nevím, např. $(1/n ; n \in N)$ U <10,13) U (13,10e> ?? řekl bych, že to je izol. bod a 2 hrom. body. Mohl bys prosím napsat přímo řešení? Děkuji :)

Rumburak

↑ symetrala:

Více Ti dá, když při hledání řešení budeš spolupracovat. Neboj se toho, je to velmi
jednoduché, známe-li definice příslušných pojmů.

Množina $A := \{\frac{1}{n} ; n \in N\}$ je dobrý začátek. Má nějaký hromadný bod ?
Nápověda k zodpovězení této otázky: co musí splňovat bod $x$ , aby byl hromadným
bodem množiny $A$ ?

symetrala · 08. 02. 2017 13:10

↑ Rumburak:
jestliže každé ryzí okolí bodu X obsahuje alespoň jeden bod, ležící v množině M

Rumburak · 08. 02. 2017 13:37

↑ symetrala:

A jak je to tedy s případnými hromadnými body množiny $A$ ?

symetrala · 08. 02. 2017 13:49

↑ Rumburak:
patří tam také? nevím, poznal bych to lépe na řešení.

vlado_bb · 08. 02. 2017 13:54

↑ symetrala: V prvom rade treba zistit, ktore su to body. Skus napriklad body $-1, 0, \frac 1{10^{2017}}, 1, 2$ . Je niektory z nich hromadnym bodom?

symetrala · 08. 02. 2017 14:18

↑ vlado_bb:
řekl bych, že všechny

Rumburak

↑ symetrala:

řekl bych, že všechny

To je omyl.

Například pro naší množinu $A$ a $x = 2$ podmínka

každé ryzí okolí bodu $x$ obsahuje alespoň jeden bod, ležící v množině $A$

splněna není: množina $(3/2, 2) \cup (2, 5/2)$ je ryzím okolím bodu $x = 2$
a žádný bod množiny $A$ v ní neleží.

symetrala · 08. 02. 2017 15:12

$(3/2, 2> \cup (2, 5/2)$ takže napr. takto?

Rumburak · 08. 02. 2017 15:34

↑ symetrala:

A k čemu je dobrá množina $(3/2, 2> \cup (2, 5/2) = (3/2 , 5/2)$ ,
což je okolí bodu 2, ale nikoliv ryzí (neboli redukované) ?

Rumburak

↑ symetrala:

Kolega ↑ vlado_bb: Ti nabídl několik bodů, abys posoudil, který z nich je či není
hromadným bodem výše zavedené množiny $A$ .

V příspěvku ↑ Rumburak: bylo ukázáno, že bod $2$ z oné nabídky hromadným
bodem množiny $A$ není. Zkus obdobnou technikou prověřit další nabídnuté body.

symetrala · 08. 02. 2017 15:45

↑ Rumburak:
tak k ničemu, nemohl bys napsat alespoň to řešení k 1.části? :)

Rumburak · 08. 02. 2017 15:50

↑ symetrala:

Nápověda: Zkus otestovat z nabídnutých bodů bod $x=0$ . Není náhodou limitou
posloupnosti $(1/n)$ , jejíž hodnoty leží v množině $A$ ?

symetrala · 08. 02. 2017 15:58

↑ Rumburak:
ano, to je.

Rumburak · 08. 02. 2017 16:21

↑ symetrala:

O.K. Rovněž je jasné, že všechny členy této posloupnosti jdou nenulové, tedy různé
od její limity. Hodnoty této posloupnosti při tom vytvářejí množinu $A$ .
Takže když vezmeme nějaké ryzí okolí $U$ bodu 0, co můžeme říci na základě definice
limity posloupnosti o vztahu tohoto okolí k množině $A$ ?

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2017 14:59

izol. a hrom. bod

#2 07. 02. 2017 10:25 — Editoval Rumburak (08. 02. 2017 15:07)

Re: izol. a hrom. bod

#3 07. 02. 2017 17:47

Re: izol. a hrom. bod

#4 08. 02. 2017 11:00 — Editoval Rumburak (08. 02. 2017 11:04)

Re: izol. a hrom. bod

#5 08. 02. 2017 13:10

Re: izol. a hrom. bod

#6 08. 02. 2017 13:37

Re: izol. a hrom. bod

#7 08. 02. 2017 13:49

Re: izol. a hrom. bod

#8 08. 02. 2017 13:54

Re: izol. a hrom. bod

#9 08. 02. 2017 14:18

Re: izol. a hrom. bod

#10 08. 02. 2017 14:49 — Editoval Rumburak (08. 02. 2017 14:49)

Re: izol. a hrom. bod

#11 08. 02. 2017 15:12

Re: izol. a hrom. bod

#12 08. 02. 2017 15:34

Re: izol. a hrom. bod

#13 08. 02. 2017 15:45 — Editoval Rumburak (08. 02. 2017 15:45)

Re: izol. a hrom. bod

#14 08. 02. 2017 15:45

Re: izol. a hrom. bod

#15 08. 02. 2017 15:50

Re: izol. a hrom. bod

#16 08. 02. 2017 15:58

Re: izol. a hrom. bod

#17 08. 02. 2017 16:21

Re: izol. a hrom. bod

Zápatí