Matematické Fórum

DanDan · 07. 02. 2017 20:32 — Editoval DanDan (07. 02. 2017 20:33)

Dokažte, že spojení množiny podprostorů $\chi$ vektorového prostoru V je nejmenší podprostor ve V obsahující všechny prvky.

Zdravím, neporadil by mi někdo prosím?

Spojení podprostorů je definováno $\vee_{_{W\in \chi }}:= \langle\bigcup_{_{_{W\in \chi }}}^{}W\rangle$
(Omlouvám se, ale lépe jsem to napsat nedokázal, to malé V by mělo být trochu větší a značí spojení podprostorů), což tedy znamení, že spojení všech podprostorů ve $\chi$ je definováno jako lineární obal jejich sjednocení a je to tedy podprostor.

Můžeme psát $W_1 \vee W_2\vee ...\vee W_k \equiv \langle W_1\cup W_2\cup ...W_k ^{}\rangle$ , kde levá strana je rovna množině všech vektorů tvaru $w_1+w_2+...+w_k$ . Kde $w_i \in W_i$

Lineární obal je sám o sobě podprostor a dle definice z mé učebnice je to ten nejmenší podprostor ve V. Je to totiž lineárně nezávislá množina, která dokáže generovat. Tedy všechny vektory v tom spojení se dají zapsat pomocí nějaké lineární kombinace a lineární obal je množina všech lineárních kombinací. Ale jak to dokázat, hlavně když jde o spojení množiny podprostorů? Děkuji

Rumburak · 08. 02. 2017 11:24

↑ DanDan:
Zadání nemáš formulováno přesně a to je možná příčinou Tvé bezradnosti.

Spojení množiny $\chi$ podprostorů vektorového prostoru V má být nejmenší podprostor
ve V obsahující všechny prvky ČEHO ?

Odpověď na tuto doplňující otázku: všech podprostorů patřících do množiny $\chi$ .

Spojení podprostorů $W_i , i = 1,2, ..., k$ patrně máte definováno jako

$\{w_1+w_2+...+w_k , w_i \in W_i \}$ .

DanDan · 08. 02. 2017 19:16

Ano přesně tak, ale jak to tedy prosím dokážu?

Rumburak · 10. 02. 2017 10:44

↑ DanDan:

Zkusme to nejprve pro jednodušší situaci, když $k = 2$ .
Máme tedy základní lin. prostor $V$ a jeho dva podprostory $W_1, W_2$ .
Položme $A = \{w_1+w_2 , w_i \in W_i \}$ a nechť $B$ je nejmenší podprostor ve $V$
takový, aby byla splněna podmínka $W_1 \cup W_2 \subseteq B$ . Cílem je dokázat, že $A = B$ ,
což znamená dokázat dvě inkluse $A \subseteq B$ , $B \subseteq A$ . Ty dokazujeme každou zvlášť.

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2017 20:32 — Editoval DanDan (07. 02. 2017 20:33)

Spojení množiny podprostorů

#2 08. 02. 2017 11:24

Re: Spojení množiny podprostorů

#3 08. 02. 2017 19:16

Re: Spojení množiny podprostorů

#4 10. 02. 2017 10:44

Re: Spojení množiny podprostorů

Zápatí