Matematické Fórum

linet123 · 11. 02. 2017 17:05

Ahoj, chci se zeptat na tento příklad:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/29040_obj.jpg

Můj postup je zde. Napsala jsem si vektorovou rovnici a za použíti podmínek rovnováhy jsem napsala skalární rovnice. Jenže se nemohu dobrat ke správnému výsledku a tak zřejmě dělám někde chybu. Mohl byste se na to prosím někdo podívat? Děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/29134_ob1.jpg

zdenek1 · 11. 02. 2017 18:00

↑ linet123:
No tak jsem se na to podíval. A je to celé špatně :(
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/32212_pic.jpg

Z rovnováhy sil dostáváš
$\begin{cases}F\cos \frac{\varphi }{2}=G+N\cos\varphi\\ F\sin\frac\varphi 2=N\sin\varphi\end{cases}$

zbytek jsou počty

aferon · 11. 02. 2017 22:08 — Editoval aferon (11. 02. 2017 22:31)

↑ zdenek1:
Děkuji za odpověď. Chci se zeptat, jaktože jste přesunul sílu F do hmotného bodu? A jak jste přišel na to, že ten úhel je $\frac{\varphi }{2}$ Děkuji.

zdenek1 · 11. 02. 2017 23:51

↑ aferon:
Co se týče úhlů, najdi si někde geometrii pro základní školy a nastuduj středový a obvodový úhel.

Lanko působí na objímku silou F, síla má směr lanka.

linet123

↑ zdenek1:
Děkuji. Lze tato soustava rovnic vyřešit tak, že vyjádřím N a dosadím to do zbývající rovnice? Nejsem si jistá zda výraz $sin\frac{\varphi }{2}$ nemám brát takto $sin(\frac{\varphi }{2} )$

zdenek1 · 12. 02. 2017 16:01

↑ linet123:

Nejsem si jistá zda výraz $sin\frac{\varphi }{2}$ nemám brát takto $sin(\frac{\varphi }{2} )$

Ano, máš.

Lze tato soustava rovnic vyřešit tak, že vyjádřím N a dosadím to do zbývající rovnice?

Lze, ale osobně bych to tak nedělal. Já bych vynásobil první rovnici $\sin\varphi$ , druhou $\cos\varphi$ a pak ty rovnice odečetl. Teoreticky je to ale jedno.

linet123 · 12. 02. 2017 16:47

↑ zdenek1:
Takto?
Po odečtění?
$Fsin\varphi *cos\frac{\varphi }{2}-Fcos\varphi*sin\frac{\varphi }{2}=sin\varphi *G$
Asi bude zapotřebí využít nějaké goniometrické vzorce?

misaH · 12. 02. 2017 17:06

http://www.e-matematika.cz/stredni-skol … vzorce.php

linet123 · 12. 02. 2017 17:14

↑ misaH:

Mám použít takový, který je pro úhel $cos\frac{\varphi }{2}$ ? a $sin\frac{\varphi }{2}$ ?
Děkuji.

Jj · 12. 02. 2017 18:54

↑ linet123:

Zdravím.

Tady ↑ linet123: vytknout na levé straně 'F' a použít vzorec:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = \sin (x-y)$ , kde $x=\varphi, \quad y = \varphi / 2$

linet123

↑ Jj:
takto?
$F(sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y))=sin(x)*G$
$F(sin(x-y))=sin(x)*G$
$F(sin(\frac{\varphi }{2}))=sin(\varphi )*G$

zdá se mi, že v tom mám stále chybu...

misaH · 12. 02. 2017 19:42 — Editoval misaH (12. 02. 2017 19:45)

↑ linet123:

Sinus fí = 2 krát sinus fí/2 kosínus fí/2

$\sin{\varphi}=2\sin{ \frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\varphi}{2}}$

Jj · 12. 02. 2017 20:22 — Editoval Jj (12. 02. 2017 20:24)

Vzorec tady ↑ Jj: jsem uvedl jako obecný vztah pro úhly x, y - v těchto rovnicích ↑ linet123: nechat výrazy s úhlem fí, tzn.

$F\left(\sin \varphi \cos \frac{\varphi }{2}-\cos\varphi \sin\frac{\varphi }{2}\right)=G\sin\varphi$
......

$F \sin \frac{\varphi }{2}=G \sin \varphi$ a dále podle rady kolegyně ↑ misaH:.

jelena · 13. 02. 2017 00:03

Zdravím,

↑ zdenek1: nešlo jen upravit druhou rovnici $F\sin\frac\varphi 2=N\sin\varphi$ (použitím vzorce pro dvojnásobný úhel napravo) na součinový tvar a potom dosadit do 1. rovnice $\cos \frac {\varphi}{2}$ ? Děkuji.

zdenek1 · 13. 02. 2017 07:43

↑ jelena:
Takhle na první pohled mi není jasné, jak se tím zbavíš $N$

jelena · 13. 02. 2017 09:46

↑ zdenek1:

zdravím, na druhý pohled se zbavím: $F\sin\frac\varphi 2=2N\sin\frac{\varphi}{2}\cos \frac{\varphi}{2}$ , odsud buď $\sin\frac{\varphi}{2}=0$ nebo $\cos \frac{\varphi}{2}=\frac{F}{2N}$ dosadím do
$F\cos \frac{\varphi }{2}=G+N(2\cos^2\frac{\varphi}{2}-1)$ .

Obdobnou techniku použiji, když upravím $\begin{cases}F\cos \frac{\varphi }{2}-G=N\cos\varphi\\ F\sin\frac\varphi 2=N\sin\varphi\end{cases}$ , obě rovnice umocním a sečtu, potom za cos(phi/2) dosadím předchozí vyjádření. Mám v těchto postupech nějakou nesrovnalost (je pravda, že moc dlouho nic nepočítám)? Děkuji.

misaH · 13. 02. 2017 10:57

Zbytočne zložité.

zdenek1 · 13. 02. 2017 11:26

↑ jelena:
Jak jsem psal v #7, dá se to určitě dělat různě. Jen jsem napsal, jak bych to dělal já.

jelena · 13. 02. 2017 12:24

↑ zdenek1: děkuji, ano (máme soustavu 2 nezávislých rovnic a 2 neznámých), akorát moje techniky předpokládají použití jen vzorců pro dvojnásobný úhel, které obvykle pamatujeme, oproti Tvé se součtovými, které se spíš nepamatuji a musí se vyhledat.

misaH · 13. 02. 2017 16:03

↑ jelena:

Naozaj si nepochopila posledný text od Zdeňka?

linet123 · 13. 02. 2017 19:52

↑ jelena:
Dobrý den, děkuji za další možný postup, jak řešit úlohu.
Píšete, že rovnici $F\sin\frac\varphi 2=N\sin\varphi$ lze upravit pomocí použití dvojnásobného úhlu napravo a pak upravit na součinový tvar.
Našla jsem vzorce pro dvojnásobný úhel viz. obr. //forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/11370_vz.jpg
ale není mi jasné, jak mohu dosadit za $sin\frac{\varphi }{2}$ první vzorec z obrázku? Pak jsem tedy vzala za fakt, že po úpravě vyšlo $cos\frac{\varphi }{2}=\frac{F}{2N}$
Pak píšete, že obdobnou techniku použijete, umocníte-li obě dvě rovnice. Provedla jsem takto:
$F^{2}cos^{2}\frac{\varphi }{2}-G^{2}=N^{2}cos^{2}\varphi$
$F^{2}sin^{2}\frac{\varphi }{2}=N^{2}sin^{2}\varphi$
A dále sečtení dvou rovnic
$F^{2}cos^{2}\frac{\varphi }{2}+F^{2}sin^{2}\frac{\varphi }{2}=N^{2}$
a dosazením $\cos \frac{\varphi}{2}=\frac{F}{2N}$
$\frac{F^{4}}{4N^{2}}+F^{2}sin^{2}\frac{\varphi }{2}=N^{2}$

A teď nevím co dál. Chci se zeptat, popsala jste dva možné výpočty řešení? Nebo to bylo jedno řešení? Děkuji za odpověď.

jelena · 13. 02. 2017 21:14 — Editoval jelena (13. 02. 2017 21:18)

Zdravím,

↑ linet123: ano, popsala jsem 2 možné postupy řešení (mé návrhy). Především ale potřebuješ trochu srovnat povědomí o goniometrických vzorcích. Pokud vezmeš v úvahu vzorce pro dvojnásobný úhel ve Tvém příspěvku, tak pro $2x$ je polovičním úhlem $x$ . Pro $\varphi$ je polovičním úhlem $\frac{\varphi}{2}$ , tedy využití vzorce pro poloviční úhel bude vypadat následovně:
$\sin \varphi=\sin $2\cdot \(\frac{\varphi}{2}$\)=2\sin \frac{\varphi}{2}\cos \frac{\varphi}{2}$

To by mělo pomoci upravit rovnici $F\sin\frac\varphi 2=N\sin\varphi$ na součinový tvar a dojit k jednomu z vyjádření $cos\frac{\varphi }{2}=\frac{F}{2N}$ .

Druhý vzorec z Tvého scanu použiji na úpravu pravé strany rovnice $F\cos \frac{\varphi }{2}=G+N\cos\varphi$ na $F\cos \frac{\varphi }{2}=G+N(2\cos^2\frac{\varphi}{2}-1)$ . Když do této úpravy dosadím $cos\frac{\varphi }{2}=\frac{F}{2N}$ , dostanu:

$F\cdot \frac{F}{2N}=G+N$2\cdot \frac{F^2}{4N^2}-1$$ , poupravuj, prosím, a ozvi se jak to dopadlo. Druhou metodu můžeš prozkoušet sama, popř. probereme a a pokusím se odůvodnit, kdy se hodí. Není to žádná konkurence k metodě kolegy Zdeňka (každý nabízíme své metody a své odůvodnění). Kolega Zdeněk má výhodu, že ovládá zpaměti daleko více vzorců, než já, proto jeho arzenál nabízených metod je daleko širší, stačí se podívat na jeho příspěvky.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2017 17:05

rovnovážná poloha

#2 11. 02. 2017 18:00

Re: rovnovážná poloha

#3 11. 02. 2017 22:08 — Editoval aferon (11. 02. 2017 22:31)

Re: rovnovážná poloha

#4 11. 02. 2017 23:51

Re: rovnovážná poloha

#5 12. 02. 2017 12:58 Příspěvek uživatele aferon byl skryt uživatelem aferon. Důvod: duplicita

#6 12. 02. 2017 14:41 — Editoval linet123 (12. 02. 2017 14:45)

Re: rovnovážná poloha

#7 12. 02. 2017 16:01

Re: rovnovážná poloha

#8 12. 02. 2017 16:47

Re: rovnovážná poloha

#9 12. 02. 2017 17:06

Re: rovnovážná poloha

#10 12. 02. 2017 17:14

Re: rovnovážná poloha

#11 12. 02. 2017 18:54

Re: rovnovážná poloha

#12 12. 02. 2017 19:25 — Editoval linet123 (12. 02. 2017 19:28)

Re: rovnovážná poloha

#13 12. 02. 2017 19:42 — Editoval misaH (12. 02. 2017 19:45)

Re: rovnovážná poloha

#14 12. 02. 2017 20:22 — Editoval Jj (12. 02. 2017 20:24)

Re: rovnovážná poloha

#15 13. 02. 2017 00:03

Re: rovnovážná poloha

#16 13. 02. 2017 07:43

Re: rovnovážná poloha

#17 13. 02. 2017 09:46

Re: rovnovážná poloha

#18 13. 02. 2017 10:57

Re: rovnovážná poloha

#19 13. 02. 2017 11:26

Re: rovnovážná poloha

#20 13. 02. 2017 12:24

Re: rovnovážná poloha

#21 13. 02. 2017 16:03

Re: rovnovážná poloha

#22 13. 02. 2017 19:52

Re: rovnovážná poloha

#23 13. 02. 2017 21:14 — Editoval jelena (13. 02. 2017 21:18)

Re: rovnovážná poloha

Zápatí