Matematické Fórum

Zdravím,

rád bych se zeptal ohledně důkazů, protože mi teorie v algebře dělá problémy a nejsem většinou schopný nikdy vymyslet validní důkaz, resp. Něco co se dá za důkaz považovat.

Byl by mi někdo schopný poradit ohledně těchto důkazů?

1) L je lineární prostor. Vektory a, b jsou elementem L. Dokaž, že a, b jsou LN (lineárně nezávislé) právě tehdy, když jsou a + b, a + 2b LN.

2) Dokaž, že jádro zobrazení vždy tvoří podprostor obrazu

3) A je matice symetrická, A = A(trasponovaná), dokaž, že A^2 = (A^2)(trasnponovaná)

4) A - E a B - E jsou podobné matice, dokaž, že A je podobné B

Plavu v tom a nevím si s tím bohužel rady.
U 1) sem pochopil, že se jedná o důkaz ekvivalence, čili je třeba to dokázat oběma směry. Udělal jsem kontrolu LN a+b a a+2b a vyšlo mi, že jsou LN, dle koeficientů, kdy oba musí být nula, ale nevím, jak to dokázat zpětně
2) tušim, že jádro je vždy podprostorem, protože se dá kdykoliv vygenerovat pomocí obalu zobrazení, ale nevím, jak to matematicky zapsat
3) zde je nejspíš potřeba jen dokázat, že když je A symetrická, tak je i A^2 symetrická a pak důkaz už dodělat, sle též nevím, jak to pomocí násobení vytvořit.
4) tady netuším vůbec, ale domnívám se, že se do toho musí zakonponovat i vlastní čísla? Jinak vím o vzorci A = PBP^-1, ale klasický problém, co udělat za výpočet, aby to byl důkaz :/

V praxi problémy nemám a definice celkem ovládám, ale u důkazu si nevím rady, pač jsme je nikdy neprobírali a pak je toho plný test.

Budu rád za každou radu