Matematické Fórum

s-o-k-o-l

Dobrý den,
chtěl bych poprosit o pomoc. Mám následující příklad:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/22344_gauss.png

Vím:
$n=4$
$k=0,1,2,3$
$|z|=2$
$cos\varphi = \frac{a}{|z|}=0\Rightarrow \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$

Ale u sinu je problém, dostanu se sem:
$sin\varphi = \frac{b}{|z|}=\frac{16}{2}=8$

Ale jak z tohoto udělám tedy úhel, který odpovídá úhlu u cos?

Díky za radu :)

teolog · 17. 02. 2017 10:24 — Editoval teolog (17. 02. 2017 10:38)

↑ s-o-k-o-l:
Zdravím,
proč je |z|=1?
Nemělo by být k až do 3?

s-o-k-o-l

↑ teolog:

Opraveno, hrubka. Koukal jsem na příklad vedle a smíchal jsem je dohromady. Nicméně ta absolutní hodnota vyjde 2 a jsem u problému se sinem.

Ještě mě napadlo vytknout 2 před odmocninu ... tedy měl bych $2sqrt(i)$ (čtvrtá odmocnina) ... a to by pak šlo už, b=1 a vycházel by sin na 1/2 ... ale je to spravný postup?

Al1 · 17. 02. 2017 13:20

↑ s-o-k-o-l:

Zdravím,

vysvětlení i s řešenými příklady zde.

Rumburak · 17. 02. 2017 13:34

Ahoj.

Jde tedy o to, jak "odmocnit čtyřmi" komplexní jednotku $\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha$ ,
kde v našem případě je $\alpha = \frac{\pi}{2}$ .

Nápověda: K tomu je potřeba nalézt všechna $\varphi$ taková, aby

(1) $(\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi)^4 = \cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha$ .

Levá strana rovnosti (1) je podle věty pana de Moivre rovna

$\cos 4\varphi + \mathrm{i} \sin 4\varphi$ .

s-o-k-o-l · 17. 02. 2017 13:46

↑ Rumburak:

Ten závěr chápu, tam není problém. Ale jak se přišlo na $\alpha$ . Já můžu příklad upravit na 2 čtvrté odmocniny z i. Velikost mám, takže mě zajímá pouze úhel. Pak ale $sin\varphi =\frac{b}{|z|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

Ale to nekoresponduje s $\varphi$ získaného z cosinu

Rumburak · 17. 02. 2017 14:12

Jak se přišlo na $\alpha$ ? Celkem jednoduše:

$16\mathrm{i} = 2^4 \mathrm{i} = 2^4(0 + \mathrm{i}\cdot 1) = 2^4$\cos \alpha + \mathrm{i}\cdot \sin \alpha$$ ,
odtud $\alpha = \frac{\pi}{2}$ , má-li být zároveň splněno $0 \le \alpha < 2\pi$ .

"Dvě čtvrté odmocniny z $\mathrm i$ " je správná cesta k výsledku, avšak tato úvaha

$sin\varphi =\frac{b}{|z|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

se vzala odkud ?

s-o-k-o-l

Odtud:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/37717_gauss.png

Zjistím si možné hodnoty úhlů pro sin a cos ... a dojdu ke shodě, což je můj výsledný úhel $\varphi$

jo, už to mám. Já totiž počítam s absoluní hodnotou 2 při výpočtu sin a cos ... to je ale blbost. Protože velikost vektoru je dva. To mám velikost. Nicméně pokud počítám, že pod odmocninou mam pouze i, když jsem vytkl 2, tak i absolutní hodnota bude 1 --- pak sin fí = 1 a to je pi/2

s-o-k-o-l

$sin\varphi =\frac{b}{|z|}=\frac{1}{1}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{2}$

Absolutní hodnota je "upravená" po odmocnění 16 na 2 odm.(i) a jedu jen odm(i) ... kde absolutní hodnota je 1, b=1 a vyjde mi to

Rumburak · 17. 02. 2017 15:25

↑ s-o-k-o-l:

Tak gratuluji. :-)

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2017 10:08 — Editoval s-o-k-o-l (17. 02. 2017 12:44)

Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#2 17. 02. 2017 10:24 — Editoval teolog (17. 02. 2017 10:38)

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#3 17. 02. 2017 12:45 — Editoval s-o-k-o-l (17. 02. 2017 12:47)

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#4 17. 02. 2017 13:20

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#5 17. 02. 2017 13:34

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#6 17. 02. 2017 13:46

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#7 17. 02. 2017 14:12

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#8 17. 02. 2017 14:22 — Editoval s-o-k-o-l (17. 02. 2017 14:25)

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#9 17. 02. 2017 14:26 — Editoval s-o-k-o-l (17. 02. 2017 14:29)

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

#10 17. 02. 2017 15:25

Re: Obraz n-té odmocniny komplexního čísla

Zápatí