Matematické Fórum

Ebola · 15. 02. 2017 05:21

Zdravím,
mám zadání, najít vázané extrémy funkce $f(x,y)= x^{2} + y^{2}$ na křivce dané rovnicí $5x^{2} + 6xy + 2y^{2} - 8$ pomocí Lagrangeho multiplikátorů. Přímou metodou to údajně ani nemá jít.

Sestrojil jsem si teda pomocnou funkci $F(x,y) = x^{2} + y^{2} + \lambda \cdot (5x^{2} + 6xy + 2y^{2} - 8)$ ,

určil jsem první derivace:

$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + \lambda(10x + 6y)$
$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y + \lambda(6x + 4y)$

a nyní u "normálních" příkladů vyleze něco co lze vytknout nebo upravit, aby z toho vypadlo, kdy jsou $\partial F$ rovny nule. Jenže v tomto příkladu, jediné k čemu jsem se dostal je pokus omyl, podezřelý bod $x_1[0,0]$ , který ovšem nenáleží křivce.

Díky za jakoukoli radu, jak dál.

Rumburak

↑ Ebola:

Ahoj.

Vedle rovnic

$2x + \lambda(10x + 6y) = 0$ ,
$2y + \lambda(6x + 4y) = 0$

bude třetí rovnicí rovnice té křívky.

Jaká je rovnice té křivky ? Toto $5x^{2} + 6xy + 2y^{2} - 8$ určitě ne,
protože v rovnici musí být rovnítko :-).

Ebola · 15. 02. 2017 22:02 — Editoval Ebola (15. 02. 2017 22:03)

Samozřejmě $5x^{2} + 6xy + 2y^{2} - 8 = 0$

Když nějak rozumně vyjádřím, tak $y = \frac{-2x - 10 \lambda x}{6 \lambda}$

a dosadím to do té 3. rovnice g(x,y) = $5x^{2} + 6xy + 2y^{2} - 8 = 0$

Tak z toho leze...

$5x^2 + 6x(\frac{-2x - 10 \lambda x}{6 \lambda}) + 2(\frac{-2x -10 \lambda x}{6 \lambda})^2 - 8 = 0$

po par upravach

$20 \lambda^2x^2 -72x^2 \lambda - 288 \lambda^2 + 8x^2 = 0$
Na což mi wolfram odpověděl, že $x= \pm 6\sqrt{\frac{2}{5}}, \lambda = \frac{1}{9}$ , Což si nedovedu představit, jak spočítat bez wolframu. Také si myslím že to je špatně, protože všechny příklady z cvičení vyšly naprosto jasně, kde šlo zřetelně vytknout a zapadalo to do sebe jak Baťovy cvičky.

A pokud by to bylo správně, tak stejně nevím, jak s tím naložit dál.

Bati · 15. 02. 2017 23:36

↑ Ebola:
Ahoj, neřekl bych, že to nejde přímou metodou - není těžké přijít na to, že zadaná křivka je elipsa s parametrizací
$[x(t),y(t)]=[4\cos t,2(\sin t-3\cos t)]$ , $t\in[0,2\pi)$ . Pak jde jen o to najít extrémy funkce $g(t):=f(x(t),y(t))=28+24\cos(2t)-12\sin(2t)$ v $[0,2\pi)$ . Můžeš si tak zkontrolovat výsledky.

Brano · 20. 02. 2017 12:42

mas tri kvadraticke rovnice o troch neznamych - prve dve sa daju zapisat takto:
$A{x\choose y}=0$
kde
$A=\begin{pmatrix}5\lambda+1 & 3\lambda\\ 3\lambda & 2\lambda+1\end{pmatrix}$
ak $\det A\not=0$ tak dostanes $x=y=0$ a to nieje riesenie tretej rovnice, teda musi platit $\det A=0$ co je kvadraticka rovnica pre $\lambda$ - tu vypocitaj, dostanes dve nepekne riesenia, tie dosad trebars do prvej rovnice a vyjadri $y$ podla $x$ a dosad do tretej rovnice a mas riesenia, da sa to doratat rucne, ale bude to otrava, lebo riesenia vyzeraju nejak takto
klik