Matematické Fórum

Anonymystik

Zdravím.
Potřeboval bych vědět, jakou technikou by se dal spočítat následující integrál:
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\alpha x)}{x^2} dx$
Výsledek vím - má vyjít $\pi \alpha$ - ale já potřebuju postup. Díky moc.

Rumburak

↑ Anonymystik:
Ahoj.

První nápad:
Zkoumat derivaci funkce

$F(\alpha) :=\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\alpha x)}{x^2} dx$

s použítím věty o derivaci integrálu podle parametru.

Anonymystik · 22. 02. 2017 15:14

↑ Rumburak: To už jsem dlooooouho nepoužil. Je na čase to oprášit. :-)

Rumburak · 24. 02. 2017 10:16

↑ Anonymystik:

Ještě mne napadá substituce $\alpha x = t$ , čímž by ten parametr z integrálu zmizel,
ale je otázka, jak by to pomohlo. Připadá mi, že počítat integrál

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \d t$

také nebude snadné.

Jj · 24. 02. 2017 13:11 — Editoval Jj (24. 02. 2017 16:56)

Zdravím.

Pokud uvážíme, že $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \, dt = \pi/2$ , tak bych řekl bych, že by to mělo jít per partes - nebo se pletu?

$u = \sin^2 t, \quad v' = 1/t^2$
$u'= \sin2t, \quad v = -1/t)$

Anonymystik

↑ Jj: Vychází, ale i tak neumím spočíst ten integrál
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$
Edit: pokouším se použít integraci s parametrem, ale nějak to zlobí:
$I(a) = \int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x} dx$
pak
$\frac{dI}{da} = \frac{d}{da} \int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} \frac{\sin ax}{x} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x \cos ax}{x} dx = \int_{0}^{\infty} \cos ax dx$
Tenhle integrál nejde rozumně vyčíslit...
Kde mám chybu?

Al1 · 24. 02. 2017 15:23 — Editoval Al1 (24. 02. 2017 15:23)

↑ Jj:

Zdravím,

oprav si překlep: $u=\sin ^{2}t; u'=\sin 2t$

Jj · 24. 02. 2017 17:24 — Editoval Jj (24. 02. 2017 17:28)

↑ Al1:

jj, díky! :)

↑ Anonymystik:

Tam není formální chyba - řekl bych, že integrand nebude splňovat nějakou podmínku.

Pokud vzpomínám, tak jsem nikde nějaké jednoduché vyčíslení tohoto integrálu neviděl. Proto jsem v odpovědi uvažoval o jeho hodnotě jako "známé".

Anonymystik

↑ Jj: Tak nakonec jsem ten postup našel tady na stránkách 3 a 4: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur … derint.pdf

Opravdu se to dělá metodou integrace podle parametru (zkombinovanou s per partes). Trik spočívá v tom, že ten parametr schováte do tlumící exponenciály (takže horní mez se dá vyčíslit):
$\int_0^{\infty} e^{-ax} \frac{\sin x}{x} dx$

A tady se potřebuju zeptat: jak má člověk poznat, kam přesně si ten parametr vložit, aby se mu to nějak hezky pokrátilo a vyšlo mu to? Mě by to prostě nenapadlo strčit si tam exponenciálu... Když už mi někdo poradí, že si ji tam mám dát, tak to nemám problém dopočítat. Problém vidím právě v tom si tam něco šikovně přidat, co tam původně není... Existuje na to nějaká univerzální metoda?

Jj · 24. 02. 2017 21:03

↑ Anonymystik:

V tom bohužel neporadím.

Bati · 24. 02. 2017 22:08 — Editoval Bati (24. 02. 2017 23:39)

↑ Anonymystik:
Ahoj, problém tvého postupu ↑ Anonymystik: je v tom, že ty integrály neexistujou jako Lebesgueovy, neboť nejsou absolutně konvergentní. Pokud je chápeš jako Newtonovy, pak je otázka jestli pro ně máš nějakou větu pro prohození derivace a integrálu. Pokud tam necháš ty nevlastní integrály, tak si myslím, že potřebuješ integrovatelnou majorantu a tu tady nemáš. Když uděláš $\int^{\infty}=\lim_{R\to\infty}\int^R$ , budeš zas muset odůvodnit prohazování limit.

Takže ten "trik" s exponencielou se jeví nejlepší. Trik v uvozovkách proto, že pro toho, kdo zná Laplaceovu transformaci nebo Cauchyovu větu z komplexky to až tak překvapivé není. Ale na otázku proč zrovna exponenciela se odpovídá těžko...asi bych řekl, proto, že se dobře integruje.

Edit: Ještě jsem si vzpomněl na jeden způsob, který, pokud znáš Riemann-Lebesgue lemma, je elementární a bez exponenciely.

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2017 13:13 — Editoval Anonymystik (22. 02. 2017 13:13)

Výpočet určitého integrálu

#2 22. 02. 2017 14:24 — Editoval Rumburak (22. 02. 2017 14:25)

Re: Výpočet určitého integrálu

#3 22. 02. 2017 15:14

Re: Výpočet určitého integrálu

#4 24. 02. 2017 10:16

Re: Výpočet určitého integrálu

#5 24. 02. 2017 13:11 — Editoval Jj (24. 02. 2017 16:56)

Re: Výpočet určitého integrálu

#6 24. 02. 2017 14:37 — Editoval Anonymystik (24. 02. 2017 14:49)

Re: Výpočet určitého integrálu

#7 24. 02. 2017 15:23 — Editoval Al1 (24. 02. 2017 15:23)

Re: Výpočet určitého integrálu

#8 24. 02. 2017 17:24 — Editoval Jj (24. 02. 2017 17:28)

Re: Výpočet určitého integrálu

#9 24. 02. 2017 20:31 — Editoval Anonymystik (24. 02. 2017 20:32)

Re: Výpočet určitého integrálu

#10 24. 02. 2017 21:03

Re: Výpočet určitého integrálu

#11 24. 02. 2017 22:08 — Editoval Bati (24. 02. 2017 23:39)

Re: Výpočet určitého integrálu

Zápatí