Matematické Fórum

Nadruhu · 25. 02. 2017 20:37

ahojte, mate niekto nejaky material ulohy na vypočítanie uklov dvoch rovín v kocke iba za pomoci sinusu a kosinusu? potreboval by som to na prax na pondelok.

ViliX · 25. 02. 2017 20:55

V Geogebře si můžeš vykonstruovat kostku a na procvičení si vybrat vždy dvě roviny a vypočítat jejich úhel. Geogebrou si lze potom numericky ověřit zdali to byl správný výpočet.

Nadruhu · 25. 02. 2017 20:58

a nejaky material by nebol k dispozicii ? ma to byt pre stredoskolakov a ja neviem ake ulohy im takto "vytvorit"

ViliX · 25. 02. 2017 21:04

V učebnici stereometrie by toho mělo být hodně, pokud nikde nic takového není, zkus:

1) úhel mezi rovinami EBD a BDF
2) úhel mezi rovinami XGH a YAB, kde X je střed strany FB a Y je střed strany FG (náročnější)

Nadruhu

skusime to vypocitat? aspon ten prvy ..

ViliX · 25. 02. 2017 21:10

Ano, zkus. Nevím na jaké úrovni příklady požaduješ, ale první příklad by měl jít snadno. Druhý je o něco náročnější.

Nadruhu · 25. 02. 2017 21:11

no ja neviem ako ho riesit tak by ste mi mohli pomoct .. ale ma to byt na stredoskolskej urovni takze nejake zakladne veci ako pytagorova veta, sinusova a cosinusova veta atd. je mozne pouzivat..

ViliX · 25. 02. 2017 21:16 — Editoval ViliX (25. 02. 2017 21:17)

Jo tak. Ten druhý příklad asi tedy vynechme. :)

Na prvním obrázku jsou roviny jejichž odchylku se snažíme vypočítat.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/53684_a.PNG

Odchylku zjistíme tak, že rovinami proložíme novou rovinu, kolmou k těm dosavadním a zjistíme průsečíky. To je vidět na druhém obrázku.

Teď nás zajímá jen to jaký je úhel EIJ, který dokážeme vypočítat právě za pomocí trigonometrie.

Je toto pochopitelné?

Nadruhu · 25. 02. 2017 21:17

a ako ho vypocitame?

ViliX · 25. 02. 2017 21:22 — Editoval ViliX (25. 02. 2017 21:22)

Podíváme se do toho obdelníka kde leží ten náš úhel:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/54058_c.PNG

Pokud vypočítáme strany EJ a JI, můžeme vypočítat (za pomocí pythagorovy věty) odvěsnu a pak můžeme použít třeba sinus nebo cosinus na úhel. Víš jak na výpočet velikostí těch stran?

Nadruhu · 25. 02. 2017 21:28

EJ bude jedna a zvysne dve odmocnina z dvoch?

ViliX · 25. 02. 2017 21:35

Zkus se podívat na ten předchozí obrázek. Výška krychle je 1 a tudíž i JI musí být 1. EJ je naopak mnohem méně (viz. obrázek)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/54818_d.PNG

Přeponu AC vypočítáme pomocí Pythagorovy věty $AC = \sqrt{1^2+1^2}$ a AI je jednoduše polovina, tj. $\sqrt{2}/2$

Tím jsme zjistili rozměry JI a EJ.

Nadruhu · 25. 02. 2017 21:36

a co dalej?

ViliX · 25. 02. 2017 21:38

Pak můžeme použít $tan^{-1}(..)$ abychom zjistili úhel, neboť známe dvě odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, nebo můžeme dopočítat přeponu (pomocí Pythagorovy věty) a použít $sin^{-1}(..)$ nebo $cos^{-1}(..)$ .

Je ten postup zřejmý?

Nadruhu · 25. 02. 2017 21:40

myslim ze EJ bude 0.5
no ani moc nie, nie je mi to jasne, ako to vypocitame?

ViliX · 25. 02. 2017 21:48 — Editoval ViliX (25. 02. 2017 21:49)

EJ jsme již odvodili, že to je $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Můžeme třeba dopočítat první tu přeponu EI: $EI = \sqrt{1^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1+1/2} = \sqrt{3/2}$

Potom víme, že
$sin(\frac{EJ}{EI}) = \alpha$
$sin(\frac{1}{ \sqrt{3} }) = \alpha$ (po úpravě)
$\Rightarrow \alpha \doteq 35.26°$

Nadruhu · 25. 02. 2017 21:51

takze to je vysledok? a ten druhy priklad by sa ako pocital?

ViliX · 25. 02. 2017 21:57

Druhý je o něco komplikovanější.

Musíme se na krychli dívat zepředu:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/56083_e.PNG

Takto by se nám ale špatně ten úhel počítal. Proto si můžeme tu úsečku "posunout" a úhel bude zachován:

Jelikož se ale mnohem lépe pracuje s pravoúhlými trojúhelníky, tak si tento nový rozdělíme na dva podobné:

Tím můžeme zjistit kolik je polovina odchylky a z toho zjistíme tu celou odchylku. Poslední obrázek by měl být evidentní. Stačí jen dopočítat některé strany (většinou za pomocí Pythagorovy věty).

Na celé vysvětlení jsem až moc unavený, jen pro úplnost dodám, že výsledek druhého příkladu je $\doteq 38.86°$

Matematické Fórum

#1 25. 02. 2017 20:37

rovina rezu kocky

#2 25. 02. 2017 20:55

Re: rovina rezu kocky

#3 25. 02. 2017 20:58

Re: rovina rezu kocky

#4 25. 02. 2017 21:04

Re: rovina rezu kocky

#5 25. 02. 2017 21:08 — Editoval Nadruhu (25. 02. 2017 21:09)

Re: rovina rezu kocky

#6 25. 02. 2017 21:10

Re: rovina rezu kocky

#7 25. 02. 2017 21:11

Re: rovina rezu kocky

#8 25. 02. 2017 21:16 — Editoval ViliX (25. 02. 2017 21:17)

Re: rovina rezu kocky

#9 25. 02. 2017 21:17

Re: rovina rezu kocky

#10 25. 02. 2017 21:22 — Editoval ViliX (25. 02. 2017 21:22)

Re: rovina rezu kocky

#11 25. 02. 2017 21:28

Re: rovina rezu kocky

#12 25. 02. 2017 21:35

Re: rovina rezu kocky

#13 25. 02. 2017 21:36

Re: rovina rezu kocky

#14 25. 02. 2017 21:38

Re: rovina rezu kocky

#15 25. 02. 2017 21:40

Re: rovina rezu kocky

#16 25. 02. 2017 21:48 — Editoval ViliX (25. 02. 2017 21:49)

Re: rovina rezu kocky

#17 25. 02. 2017 21:51

Re: rovina rezu kocky

#18 25. 02. 2017 21:57

Re: rovina rezu kocky

Zápatí