Matematické Fórum

MartinF22 · 26. 02. 2017 12:10

Dobrý deň,

mám za úlohu napísať rovnicu kružnice, ktorá je opísaná trojuholníku ABC, súradnice vrcholov sú: $A[0;0] , B[3;0] , C[0;4]$ . Našiel som parametrické rovnice dvoch osí strán - $c,a$ a ich priesečník - stred opísanej kružnice. Výsledok však nie je dobrý - mohol by mi niekto poradiť?

Ďakujem vopred.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/07387_trojuholnik.jpg

misaH · 26. 02. 2017 12:22

↑ MartinF22:

Pri takýchto úlohách sa oplatí overiť, či náhodou trojuholník nie je pravouhlý, lebo vtedy stred opísanej kružnice leží v strede prepony (Talesova kružnica).

Ak sa nemýlim, C-A a B-A sú navzájom kolmé, lebo ich skalárny súčin je 0.

misaH · 26. 02. 2017 12:23 — Editoval misaH (26. 02. 2017 12:33)

↑ MartinF22:

K tvojmu riešeniu - osi strán nemusia prechádzať cez vrcholy trojuholníka.

Klasicky sa pri troch bodoch kružnice oplatí riešiť cez všeobecnú rovnicu kružnice:

$x^2+y^2+ax+by+c=0$

Riešiš 3 lineárne rovnice s troma neznámymi a, b, c.

Obyčajne ľahké a rýchle.

ViliX · 26. 02. 2017 12:25 — Editoval ViliX (26. 02. 2017 12:26)

Průsečík os stran máš podle mě špatně, neboť se jedná o pravoúhlý trojúhelník (s přeponou BC) a střed opsané kružnice leží na středu přepony.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/08309_a.PNG

Pokud se chceš vyhnout této úvaze a chtěl mít řešení pro obecný trojúhelník, osy stran jsou kolmé na strany a prochází jejich středem.

ViliX · 26. 02. 2017 12:35 — Editoval ViliX (26. 02. 2017 12:40)

Dodávám pro úplnost:

Přímky kolmé na strany a procházející jejich středem:
$O_a: 3x-4y+\frac{7}{2} = 0$
$O_c: x-\frac{3}{2} = 0$

Vyřešíme jako soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
$O_a \cap O_c = \{[1.5, 2]\} = S$

Poloměr je potom vzdálenost středu kružnice od jakéhokoliv bodu trojúhelníku:
$(x-1.5)^2 + (y-2)^2 = \frac{25}{4}$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/09216_b.PNG