Matematické Fórum

Elisa · 28. 02. 2017 18:27

Dobrý den, poradili byste mi prosím s tímto příkladem? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/02845_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Jj · 28. 02. 2017 19:07

↑ Elisa:

V polárních souřadnicích se uvedená plocha spočítá takto:

$S=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r^2 \,d\varphi = \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi} (1+\cos\varphi)^2 \,d\varphi=\cdots$

Elisa · 28. 02. 2017 19:27

Děkuji a proč je tam prosím 1/2?

Elisa · 28. 02. 2017 19:57

Jak se to prosím zintegruje? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/08206_%255E5B0E2FA5F4AB8A321008A983DA6415EB035386E665CF923DE3%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

Jj · 28. 02. 2017 19:59

↑ Elisa:

Jen velmi zhruba: Plocha se v těchto souřadnicích počítá jako obsah výseče vymezené křivkou a krajními průvodiči. Elementární ploška dS se také určí jako obsah výseče, jejíž průvodiče svírají úhel $_{d\varphi}$ , tj. jako polovina plošky obdélníku $_{r\cdot r d\varphi}$

takže $dS = \frac{1}{2}\,r^2 d\varphi \quad \Rightarrow \quad S=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\,r^2 d\varphi$

Jj · 28. 02. 2017 20:04 — Editoval Jj (28. 02. 2017 20:08)

↑ Elisa:

Integrand umocnit a rozdělit na více částí:

$\int (1+\cos\varphi)^2 \,d\varphi=\int 1\,d\varphi+\int 2\cos\varphi\,d\varphi+\int \cos^2\varphi\,d\varphi$

U posledního integrálu použít identitu $cos^2 \varphi = \frac{1}{2}(1+\cos2\varphi)$

Elisa · 28. 02. 2017 20:42

Děkuji, takhle?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-02/10968_%255E3F0DC1147BC373724B7D91F1AF8F8B64713983D909C27139E2%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

Jj · 28. 02. 2017 20:47

↑ Elisa:

V tomto příkladu se integruje od 0 do 2pi, takže dosazovat tyto meze. Bez toho se v tom postupu nějak "ztrácím".

Jj · 28. 02. 2017 21:10

↑ Jj:

$\int_{0}^{2\pi}(1+\cos\varphi)^2 \,d\varphi=\int_{0}^{2\pi} (1+ 2\cos\varphi)\,d\varphi+\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos2\varphi)\,d\varphi=$

$= [\varphi+ 2\sin\varphi]_{0}^{2\pi}+\frac{1}{2}\left[\varphi+ \frac{\sin2\varphi}{2}\right]_{0}^{2\pi}=2\pi + \pi = 3\pi$

Takže výsledek $S=\frac{3\pi a^2}{2}$

vanok · 28. 02. 2017 21:46

Pozri aj tu https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cardioid

Elisa · 01. 03. 2017 15:57

Mockrát děkuju

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2017 18:27

výpočet obsahu

#2 28. 02. 2017 19:07

Re: výpočet obsahu

#3 28. 02. 2017 19:27

Re: výpočet obsahu

#4 28. 02. 2017 19:57

Re: výpočet obsahu

#5 28. 02. 2017 19:59

Re: výpočet obsahu

#6 28. 02. 2017 20:04 — Editoval Jj (28. 02. 2017 20:08)

Re: výpočet obsahu

#7 28. 02. 2017 20:42

Re: výpočet obsahu

#8 28. 02. 2017 20:47

Re: výpočet obsahu

#9 28. 02. 2017 21:10

Re: výpočet obsahu

#10 28. 02. 2017 21:46

Re: výpočet obsahu

#11 01. 03. 2017 15:57

Re: výpočet obsahu

Zápatí