Matematické Fórum

Nadruhu

Ahojte, mam riesit numerickou metodou sustavu
$x^2+y^2-1=0$
$x cos x - y = 0$

pomozete mi ako na to?
Ja by som to skusil riesit metodou dotycnic takze vyjadrim si $y$ z druhej rovnice, dostavam $y=x cos x$
dosadim do prvej, dostanem
$x^2+(x cos(x))^2-1=0$
ked to zderivujem tak dostanem $-x sin(x)+cos(x)+2x$
takze by som rad dosadil do
$x_1=x_0=f(x_0)/f'(x_0)$ ale neviem akym $x_0$ zacal, ako si ho mam zvolit.

ViliX · 06. 03. 2017 06:55 — Editoval ViliX (06. 03. 2017 07:44)

Tato metoda funguje na tom principu, že si vybereš náhodné $x_0$ o kterém si myslíš, že by mohlo být blízko kořenu.

Dále pak postupuješ takto: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ a každé získané $x$ dostazuješ do té rovnosti a zkoušíš, zdali náhodou není nula.

Mimochodem: derivace by měla být podle mě takto: $2x \cdot cos(x)^2-2x^2\cdot sin(x)\cdot cos(x)+2x$ .

Potom ten vztah bude vypadat: $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 +(x_n\cdot cos(x))^2 -1} {2\cdot x_n\cdot cos^2(x_n)-2\cdot x_n^2\cdot sin(x_n)\cdot cos(x_n)+2 \cdot x_n}$ .

Začnu třeba $x_0 = 1$ a pak pokračuji..

Al1 · 06. 03. 2017 07:43

↑ ViliX:

Zdravím,

pozor na zápis $\cos (x)^{2}=\cos (x\cdot x)$ a $(\cos (x))^{2}=\cos ^{2}(x)$ . V derivaci jsi patrně myslel ten druhý zápis (protože ten je zde správný).

ViliX · 06. 03. 2017 07:45

↑ Al1:

Omlouvám se: jsem zvyklý na programovací jazyky, ve kterých to platí právě opačně. Opraveno. :)

Nadruhu

vychadza mi to
$x_{1} = 1 - \frac{1^2 +(1\cdot cos(1))^2 -1} {2\cdot 1\cdot cos^2(1)-2\cdot 1^2\cdot sin(1)\cdot cos(1)+2 \cdot 1}=1-0.252=0.747$ .

potom

$x_{2} = 0.747 - \frac{0.747^2 +(0.747\cdot cos(0.747))^2 -0.747} {2\cdot 0.747\cdot cos^2(0.747)-2\cdot 0.747^2\cdot sin(0.747)\cdot cos(0.747)+2 \cdot 0.747}=0.747-0.124=0.622$ .

dalsi krok

$x_{3} = 0.622 - \frac{0.622^2 +(0.622\cdot cos(0.622))^2 -0.622} {2\cdot 0.622\cdot cos^2(0.622)-2\cdot 0.622^2\cdot sin(0.622)\cdot cos(0.622)+2 \cdot 0.622}=0.622-0.124=0.622-0.061=0.560$ .
dalsi -

$x_{4} = 0.560 - \frac{0.560^2 +(0.560\cdot cos(0.560))^2 -0.560} {2\cdot 0.560\cdot cos^2(0.560)-2\cdot 0.560^2\cdot sin(0.560)\cdot cos(0.560)+2 \cdot 0.560}=0.560-0.219=0.340$ .
akosi sa mi ta hodnota nechce ustalit.

vlado_bb · 06. 03. 2017 10:02

↑ Nadruhu: Zda sa ako keby si tam mal numericke chyby, mne to vyslo inak, ale tiez som sa mohol pomylit. Len pre istotu, napis, kolko je podla teba $\cos 1$ .

Nadruhu

cos 1 mi na kalkulacke vyhodilo 0.9998 ale to je zrejme blbost
tak ako to ma byt?

vlado_bb · 06. 03. 2017 10:19

↑ Nadruhu: Samozrejme, ved uz z jednotkovej kruznice je vidiet, ze to musi byt ovela menej. $\cos 1 \approx 0.54030230586$ .

Nadruhu · 06. 03. 2017 10:22

ale tak potom ako to mam hodit do kalkulacky tak aby mi to spravne pocitalo $x_1, x_2, ... ,x_5$

vlado_bb

↑ Nadruhu: Treba len spravne zaobchadzat s kalkulackou aby pocitala, co treba. Predpokladam, ze aj $\sin 1$ pri tvojom sposobe pocitania vyjde okolo nuly, co je tiez v rozpore s pohladom na jednotkovu kruznicu. Pouvazuj, v com je problem.

Nadruhu · 06. 03. 2017 10:26

to ano ale tak ako?

vlado_bb · 06. 03. 2017 10:30

↑ Nadruhu: Tvoja kalkulacka pri jej sucasnom nastaveni nepocita kosinus jednej, ale niecoho ineho. Coho? Urcite si spomenies.

Nadruhu · 06. 03. 2017 10:31

myslim ze na stupne to prevedieme tak ze $360/2 pi = 57$ priblizne takze hladame $cos 57$

ViliX · 06. 03. 2017 10:32

↑ Nadruhu:

Počítáš na kalkulačce v radiánech?

Nadruhu

nie, v radianoch asi nie - takze to bude
$x_{2} = 1- \frac{1^2 +(1\cdot cos(57.295))^2 -1} {2\cdot 1\cdot cos^2(57.295)-2\cdot 1^2\cdot sin(57.295)\cdot cos(57.295)+2 \cdot 1}=1-0.174=0.825$
tak?

Jj · 06. 03. 2017 10:49 — Editoval Jj (06. 03. 2017 10:52)

↑ Nadruhu:

Zdravím.

Někdy je akceptovatelný jednodušší postup, např. po úpravě zadaných rovnic na tvar

$x=\sqrt{1-y^2}$
$y =x\cdot\cos x$ je možno iterovat tak, že

- do pravé strany první rovnice zadáme odhad počáteční hodnoty y0, v levo dostaneme hodnotu x0
- x0 dosadíme do pravé strany druhé rovnice, v levo dostaneme hodnotu y1
- zase y1 dosadit do prvnní rovnice vpravo --> x1
- zase x1 dosadit do druhé rovnice vpravo --> y1

atd., opakovat do ustálení hodnot (pokud mají tendenci se ustálit).

Např.: y0 = 0.5, pak

x0 = 0.866025 x1 = 0.827773 x2 = 0.828491 x3 = 0.828459 x4 = 0.82846
y1 = 0.561063 y2 = 0.560003 y3 = 0.56005 y4 = 0.560048 y5 = 0.560048

Pokud už přesnost stačí, tak konec interací.

Dále bych řekl - má-li uvedená soustava kořeny (a, b), má také kořeny (-a, -b) - to vyplývá z tvaru zadaných rovnic (dobrý bývá náčrtek, z něj rovněž vyplyne, že jiné reálné kořeny už soustava nemá). Metoda nekonverguje nějak rychle - pro jednoduchost se někdy hodí.

Edit - doplněno: Je samozřejmě nutno počítat v radiánech.

Cheop · 06. 03. 2017 11:05

↑ Nadruhu:
Tady obrázek pro kontrolu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-03/94702_iter.png

ViliX · 06. 03. 2017 11:51

↑ Nadruhu:

Ten tvůj výsledek je hodně blízko, tj. evidentně tvá metoda funguje.

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2017 00:13 — Editoval Nadruhu (06. 03. 2017 00:23)

numerickou metodou

#2 06. 03. 2017 06:55 — Editoval ViliX (06. 03. 2017 07:44)

Re: numerickou metodou

#3 06. 03. 2017 07:43

Re: numerickou metodou

#4 06. 03. 2017 07:45

Re: numerickou metodou

#5 06. 03. 2017 09:09 — Editoval Nadruhu (06. 03. 2017 09:40)

Re: numerickou metodou

#6 06. 03. 2017 10:02

Re: numerickou metodou

#7 06. 03. 2017 10:14 — Editoval Nadruhu (06. 03. 2017 10:15)

Re: numerickou metodou

#8 06. 03. 2017 10:19

Re: numerickou metodou

#9 06. 03. 2017 10:22

Re: numerickou metodou

#10 06. 03. 2017 10:25 — Editoval vlado_bb (06. 03. 2017 10:27)

Re: numerickou metodou

#11 06. 03. 2017 10:26

Re: numerickou metodou

#12 06. 03. 2017 10:30

Re: numerickou metodou

#13 06. 03. 2017 10:31

Re: numerickou metodou

#14 06. 03. 2017 10:32

Re: numerickou metodou

#15 06. 03. 2017 10:34 — Editoval Nadruhu (06. 03. 2017 10:34)

Re: numerickou metodou

#16 06. 03. 2017 10:49 — Editoval Jj (06. 03. 2017 10:52)

Re: numerickou metodou

#17 06. 03. 2017 11:05

Re: numerickou metodou

#18 06. 03. 2017 11:51

Re: numerickou metodou

Zápatí