Matematické Fórum

kokos · 09. 05. 2009 21:58

Odvoďte vzorec pro objem pravidelného čtyřstěnu o hraně a

gadgetka · 09. 05. 2009 23:19

namaluj si pravidelný čtyřstěn ABCD (tvořen 4 shodnými rovnostrannými trojúhelníky), vyznač si tělesovou výšku, kde její patu označ např. písmenem P (DP=v) a stěnovou výšku (=výška rovnostranného trojúhelníku) písmenem x. Ze znalosti rovnostranného trojúhelníku je ti určitě jasné, že $|CP|=\frac{2}{3}|x|$ a že všechny stěnové výšky jsou stejné. Hrana čtyřstěnu je zadaná = a.

Stěnová výška x:

$x^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{4a^2-a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}=>x=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}$

$|CP|=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Z pravoúhlého trojúhelníku CDP určíme tělesovou výšku v:

$v^2=a^2-|CP|^2=a^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=\frac{9a^2-3a^2}{9}=\frac{2a^2}{3}=>v=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=a\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$

Objem čtyřstěnu se vypočítá podle vzorce:

$V=\frac{1}{3}S_p\cdot v=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\cdot x}{2}\cdot v=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\cdot \frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}}{2}\cdot a\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot a\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{12}\cdot a^3\cdot \sqrt{2}(j^3)$

jelena · 09. 05. 2009 23:42

↑ gadgetka:

Hezký večer,

obdivuji jak rychlost, tak kvalitu zpracování příspěvků, děkuji.

Mám jednu velkou prosbu - pokud autor dotazu v několika bodech porušuje místní pravdla, není vhodné to tolerovat.

↑ kokos: již byl v jiném tématu v tomto smyslu upozorněn, pokud bude mít zájem i nadale zde spolupracovat a bude akceptovat to, co jsme se dohodli, určitě může spolehat na pomoc. Nebude žádný problém.

Děkuji, že tato moje prosba bude akceptována a ještě jednou hezký večer :-)

gadgetka · 10. 05. 2009 00:17

Omlouvám se, asi je to tím, že mám doma stejné "vejrostky" a někdy jim zkrátka nedojde, jak se mají chovat, ale to neznamená, že jsou nezdvořilí. Dnešní mládí je jiné, než jsme byli my, ale to říká každá generace :). Já osobně obdivuji práci místních "mazáků" a i trošku závidím jejich (Tvůj) matematický přehled, který jsem já už dávno ztratila. Na těchto stránkách jsem si zvykla relaxovat od každodenních starostí, doma se mi smějou, že se vracím do školních let a přiznávám, že mám radost, když se mi občas podaří někomu dobře poradit. "Kokoska" to určitě nemyslela zle, v jiném příspěvku, mám pocit, že se i za nezdvořilost omluvila ... a já slibuji, že se pro příště též polepším. Přeji krásnou a klidnou noc. :))

jelena · 10. 05. 2009 00:48

↑ gadgetka:

Děkuji za odpověď :-)

Dnešní mládí je přesně takové, jak jsme to zařidili my, generace jejich rodičů. Pokud je jiné, tak jsme to tak chtěli a je to tak dobře.

Proto jim máme ponechat prostor pro vlastní řešení a oni to moc dobře zvládaji.

Jsem rada, že se rozumíme a přeji pohodovou relaxaci :-)

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2009 21:58

odvození vzorce

#2 09. 05. 2009 23:19

Re: odvození vzorce

#3 09. 05. 2009 23:42

Re: odvození vzorce

#4 10. 05. 2009 00:17

Re: odvození vzorce

#5 10. 05. 2009 00:48

Re: odvození vzorce

Zápatí