Matematické Fórum

Barča · 10. 05. 2009 10:11

Ahoj. Nevím si rady s tímto příkladem: Do půlkruhu o poloměru r vepište obdélník největšího obsahu.

Jak si mám vyjádřit ten obsah obdélníka pomocí r?nebo je třeba na to jít jinak?
děkuji

lukaszh · 10. 05. 2009 10:44

↑ Barča:
Použi goniometrické vzťahy pre súradnice (x,y) na jednotkovej kružnici. Teda $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ . Súradnice bodu na kružnici s polomerom r je $(r\cdot\cos\varphi,r\cdot\sin\varphi)$

JOnas · 10. 05. 2009 19:07

Mohl by jsi tu myslenku nejak rozvest? Nevim jak sestavit tu funkci. Porad tam mam dve nezname.

jelena · 11. 05. 2009 00:36

↑ JOnas:

Obdélník má strany:

$a =2r \cos \varphi$ - to je základna (je jasné, proč je tam dvojnásobek?)

$b =r \sin \varphi$

Obsah obdélníku: $S = a\cdot b$

$S = 2r \cos \varphi \cdot r \sin \varphi$

tento výraz uprav pomocí vzorce pro dvounásobný úhel a vyšetřuj funkci S na maximum.

r se považuje za konstantu (pro derivování), proměnná je pouze úhel "phi"

OK?

gadgetka

nebo na to jdi takto:
u obdélníku si označ délku jako neznámou x a šířku jako neznámou y
y můžeš vyjádřit pomocí Pythagorovy věty:

$y^2=r^2-$\frac{x}{2}$^2==>y=\sqrt{r^2-\frac{x^2}{4}}$

Hledáme maximum pro obsah obdélníku
$P=x\cdot y=x\cdot \sqrt{r^2-\frac{x^2}{4}}=\sqrt{r^2\cdot x^2-\frac{x^4}{4}}$

$P'=\frac{2r^2-x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}}$

určitě víš, že extrém fce může nastat v bodech, kdy je 1. derivace rovna nule nebo neexistuje==>
$\frac{2r^2-x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}}=0\nl(\sqrt{2}r-x)(\sqrt{2}r+x)=0$

Maximum fce P nastává pro délku $x=\sqrt{2}r$

Dosadíme do y:
$y=\sqrt{r^2-\frac{(\sqrt{2}\cdot r)^2}{4}}=\sqrt{\frac{4r^2-2r^2}{4}}=\sqrt{\frac{r^2}{2}}=r\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

a obojí do obsahu:
$P=x\cdot y=\sqrt{2}r\cdot r\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=r^2$

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2009 10:11

maximální obsah

#2 10. 05. 2009 10:44

Re: maximální obsah

#3 10. 05. 2009 19:07

Re: maximální obsah

#4 11. 05. 2009 00:36

Re: maximální obsah

#5 11. 05. 2009 01:29 — Editoval gadgetka (11. 05. 2009 01:30)

Re: maximální obsah

Zápatí