Matematické Fórum

Filip2142 · 09. 03. 2017 22:25

Zdravím,

mám zadanou funkci: $x*y*\ln (x^{2}+y^{2})$

Vypočetl jsem druhé derivace, vytvořil jednotlivé matice druhých derivací. Avšak Sylvestrovo kritérium nemůžu využít. ve všech čtyřech případech mi vyšly determinanty nulové. Nevím přesně jak teď postupovat, jestli se v okolí tohoto bodu blížit a určovat okolní hodnoty nebo je lepší způsob. Jelikož druhá derivace není úplně primitivní. Zde přikládám své řešení. Výpočet determinantů tam nemám, ale jsou nulové. Mohl by mi někdo poradit jak dále postupovat popř. mě navést správným směrem? Děkuji Všem Filip.

Bati · 10. 03. 2017 00:14

Ahoj ↑ Filip2142:,
to, že v těch čtyřech bodech není extrém mi připadá jasné z předpisu té funkce. Když si to představím na obrázku v polárních souřadnicích, je to jen $f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)=r^2\log r\sin2\varphi$ , takže malou změnou poloměru najdu v každém okolí každého stacionárního bodu dva jiné body, ve kterých bude hodnota menší a větší. Tzn., že to nemůžou být lok. extrémy.

Dál se mi zdá, že jsi zapomněl na body $(0,0), (0,\pm1),(\pm1,0)$ .

Al1 · 10. 03. 2017 07:03

↑ Filip2142:

Zdravím,

klidně jsi mohl pokračovat v původním tématu zde, protože z něho máš příslušné výpočty. A kdybys naopak zadal toto téma jako první, měl bys hned, podle návodu ↑ Bati:, pár stacionárních bodů " bez námahy" :-)

Filip2142

↑ Bati:

Zdravím,

koukal jsem se na WA, kde právě tyto čtyři body bylo buď minima nebo maxima. Na ty další body bych přišel pohledem. O těch polárních ss jsem jen matně někde četl, mohl bys mi je případně trochu osvětlit? Podívám se mezitím sám na net. Opravdu tedy tyto nejsou extrémy? děkuji Filip.

WA: dole jsou vypsané exrémy:
Odkaz

Bati · 10. 03. 2017 15:55

↑ Filip2142:
Ano, omlouvám se, máš pravdu. Myslel jsem si, že funkce $r^2\log r$ je rostoucí pro $r>0$ , ale není.

Jj · 10. 03. 2017 19:20

↑ Filip2142:

Dobrý den.

Ty výpočty parciálních derivací tady ↑ Filip2142: nebudou v pořádku.

V uvedených čtyřech stacionárních bodech bude $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ (obojí mi vyšlo = 0). S ohledem na symetrii zadané funkce vzhledem k proměnným x, y zřejmě nebude jedna ze zbývajících derivací (xx, yy) různá od nuly a druhá rovna 0 (tu už jsem se při výpočtu zamotal - ovšem je možno se podívat, co na to Wolfram: Odkaz).

Hessiány nebudou rovny nule a dá se určit typ extrému (v uvedených čtyřech stacionárních bodech).

Filip2142 · 10. 03. 2017 19:32

Napadlo mě, že bych kolem těch stacionárních bodů zjišťoval, jak se chovají okolní body, ale do jaké vzdálenosti apod? Měl by někdo nějakou radu? Děkuji

Jj · 11. 03. 2017 10:53

↑ Filip2142:

To mi připadá zbytečné, když už za nás někdo vymyslel obecnou metodu:

Druhé parciální derivace mi vyšly $f''_{xx} = f''_{yy} = 2 \cdot \text{sign(xy)}, \quad f''_{xy} = f''_{yx} = 0$

Takže Hessián $\begin{vmatrix} f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{vmatrix}=4 > 0$ pro všechny uvedené stacionární body --> je v nich minimum nabo maximum (ne sedlový bod)

a v návaznosti na znaménko f''_{xx} tudíž je v uvedených čtyřech bodech ležících

- v prvním a třetím kvadrantu: minimum
- v druhém a čtvrtém kvadrantu: maximum

Takže ještě dořešit ostatní body (↑ Bati:).

Filip2142

↑ Jj:

Děkuji za reakci. Trochu nechápu ty Vaše druhé parciální derivace (hlavně s tou funkcí signum). A tu nerovnost u této matice také trochu nechápu. Děkuji za vysvětlení :)

Aha, tak jak vidím. Tak jsem se sekl v těch hodnotách v matici. Tak to ještě potom přepočtu.

Jj · 11. 03. 2017 18:05

↑ Jj:

Až teď si uvědomuju, že jsem to s tou funkcí singnum napsal docela nejasně.

Funkcí sign(xy) rozumím funkci sign(x*y), kde x a y jsou souřadnice jednotlivých stacionárních bodů.
Druhé parciální derivace (podle xx i podle yy) ve stacionárních bodech vyšly v absolutní hodnotě shodně = 2, rozdíly jsou jen ve znaménkách. Tím jsem chtěl vlastně (jednoduše) vyjádřit to, že parciální derivace ve stacionárních bodech vyšly v návaznosti na rozmístění těchto bodů v jednotlivých kvadrantech takto:

kvadrant: 1 2 3 4
--------------------------------
$_{f''_{xx}:}$ +2 -2 +2 -2
$_{f''_{yy}:}$ +2 -2 +2 -2

ale jenom jsem to domotal. Hessián v uvedených bodech je buď

$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$ nebo $\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}$ , tzn. jeho hodnota je v uvedených čtyřech stacionárních bodech vesměs > 0.

O využití Hessiánu k určování extrémů např. tady: Odkaz