Matematické Fórum

dano2484 · 15. 03. 2017 21:26

zdravím potreboval by som parcialne derivovať výraz: x^y^z

Stýv · 15. 03. 2017 22:57

dano2484 · 16. 03. 2017 17:16

No potreboval by som radu, dostal som za úlohu derivovať výraz podľa všetkých troch premených x,y,z a keďže je to nové učivo neprepočítali sme takmer žiadny príklad a neviem sa pohnúť ďalej. Takýto typ príkladu som nenašiel ani nikde na internete.

${x^{y}}^{z}$

Bol by som vďačný aspoň za nejaký návod alebo postup ako na to.

Jj · 16. 03. 2017 18:08 — Editoval Jj (16. 03. 2017 18:22)

↑ dano2484:

Dobrý den.

Řekl bych, že

1. Derivace podle x (y a z považujeme za konstantu --> derivovat jako $x^n$ ):

$\frac{\partial x^{y^z}}{\partial x}=y^z x^{y^z-1}$

2. Derivace podle y (x a z považujeme za konstantu --> derivovat jako $a^{y^n}$ ):

$\frac{\partial x^{y^z}}{\partial y}= x^{y^z}\ln x\cdot z y^{z-1}$

3. Derivace podle z (x a y považujeme za konstantu, --> tu si musíme trochu poradit, můžeme zkusit např. "logaritmické" derivování):

Máme derivovat $u = x^{y^z}$ podle z, obě strany logaritmujeme, pak

$\ln u = \ln x^{y^z}\Rightarrow \ln u=y^z \ln x$ , teď obě strany derivovat podle z

$\frac{u'_z}{u}=y^z\ln y \ln x$ a z tohoto vztahu vyjádřit derivaci podle z

$u'_z=y^z\ln y \ln x \cdot u=y^z\ln y \ln x\cdot x^{y^z}$

Pokud už máte "v krvi" derivace funkcí jedné proměnné, tak to asi (pokud jsem se nepřeklepl) bude zřejmé. Když tak se ptejte.

dano2484 · 16. 03. 2017 21:26

Ďakujem veľmi pekne pomohol si mi. Už tomu chápem aj keď to derivovanie podľa z je dosť zložité

Jj · 16. 03. 2017 22:03 — Editoval Jj (16. 03. 2017 22:05)

↑ dano2484:

Při derivaci podle z je taky možno postupovat takto:

$\frac{\partial }{\partial z} x^{y^z}=\frac{\partial }{\partial z} e^{\ln$x^{y^z}$}=\frac{\partial }{\partial z} e^{y^z\ln{x}}= e^{y^z\ln{x}} \cdot y^z \ln{x} \cdot \ln y= x^{y^z}\cdot y^z \ln{x} \cdot \ln y$

jozef37

Ešte jednu vec by som sa chcel spýtať,pri tom prvom spôsobe som nepochopil zápisu $\frac{u^{}}{u}$ . Mohli by ste mi to nejak vysvetliť?

vanok · 16. 03. 2017 23:40 — Editoval vanok (17. 03. 2017 02:07)

Poznamka.
V takych vyrazoch je dolezite upresnit priorités (=prednosti) vypoctov.
Co je 20:10:2?
Bez zatvoriek to da co?

Jj · 16. 03. 2017 23:55

↑ jozef37:

Tam je $\frac{u'_z}{u}$ , tzn. parc. derivace u podle z lomeno u.

Tam jsou derivovány obě strany rovnice, a při derivace výrazu ln(u) je třeba pamatovat na to, že u je funkcí z (pokud jsou tedy x a y považovány za konstanty). Takže levá strana se musí derivovat jako složená funkce, tzn.

$\frac{\partial \ln u}{\partial z} = \frac{\partial \ln u}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial z}$ --> uvedený jednodušší zápis $\frac{u'_z}{u}$ .

Podobně se postupuje při derivacích implicitně zadané funkce jedné proměnné.

Jj · 17. 03. 2017 00:05

↑ vanok:

No, třeba se uvést mohly. Chápal jsem to podobně jako třeba výraz $e^{x^2}$ , a v samotných latexových výrazech jsou závorky uvedeny - složené, jen se nezobrazují.

vanok · 17. 03. 2017 00:11

↑ Jj:,
Pozdravujem.

Vyraz v latexe som nepozeral.
Aspon takto sa nezabudne na prednosti vo vypoctoch.

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2017 21:26

Parciálne derivácie

#2 15. 03. 2017 22:57

Re: Parciálne derivácie

#3 16. 03. 2017 17:16

Re: Parciálne derivácie

#4 16. 03. 2017 18:08 — Editoval Jj (16. 03. 2017 18:22)

Re: Parciálne derivácie

#5 16. 03. 2017 21:26

Re: Parciálne derivácie

#6 16. 03. 2017 22:03 — Editoval Jj (16. 03. 2017 22:05)

Re: Parciálne derivácie

#7 16. 03. 2017 23:12 — Editoval jozef37 (16. 03. 2017 23:14)

Re: Parciálne derivácie

#8 16. 03. 2017 23:40 — Editoval vanok (17. 03. 2017 02:07)

Re: Parciálne derivácie

#9 16. 03. 2017 23:55

Re: Parciálne derivácie

#10 17. 03. 2017 00:05

Re: Parciálne derivácie

#11 17. 03. 2017 00:11

Re: Parciálne derivácie

Zápatí