Matematické Fórum

Johny · 10. 05. 2009 18:42

Zdravím , mám zadání
X = {(x,y,z) = R^3: x^2 + y^2 + z^2 = a^2 , x^2 + y^2 = ax , z > 0,a>0}
Zavedl jsme polarni souradnice x = rcost , y = rsint. Vysledna parametrizace : (rcost,rsint,sqrt(a^2-r^2)) a meze
r = <0,acost> , t = <-pi/2,pi/2>. Uvital bych jakoukoliv kontrolu :D , dekuji.

Pavel Brožek · 15. 11. 2009 12:42

↑ Johny:

První rovnice vymezuje povrch koule, druhá povrch nekonečného válce. Jejich průnik je zobrazen zeleně na obrázku. Nás zajímá pouze horní část, kde z>0. Jedná se o křivku, takže parametr bude pouze jeden. Zavedeme si válcové zouřadnice.
$x=r\cos t\nl y=r\sin t\nl z=z$
Z první rovnice dostáváme:

$(r\cos t)^2+(r\sin t)^2+z^2=a^2\nl z=\sqrt{a^2-r^2}$

Z druhé rovnice:

$(r\cos t)^2+(r\sin t)^2=a(r\cos t)\nl r=a\cos t$

Celou křivku tak můžeme zapsat pomocí jednoho parametru $t$ .

$(x,y,z)=(a\cos^2t,\,a\sin t\cos t,\,a|\sin t|)\,\qquad t\in$-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$$ .

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2009 18:42

Parametrizace

#2 15. 11. 2009 12:42

Re: Parametrizace

Zápatí