Matematické Fórum

s-o-k-o-l

Dobrý den,
Chtěl bych poprosit o kontrolu příkladu

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-03/75779_graf.png
$x\ge 0$

Tedy pro $x\ge 0$ dostanu odmocninu ... ale jak je to se záporným x?
Napadá mě toto: $x<0\Rightarrow \sqrt{x}=-\sqrt{xi^{2}}=-i\sqrt{x}$
Tedy reálná složka je nulová a pro $x\le 0$ dostávám funkční hodnotu 0

Je to správná úvaha?
Děkuji :)

Bati · 19. 03. 2017 10:02

Ahoj,
pozor na interpretaci $\sqrt{}$ . Většinou se tenhle symbol používá jen pro reálné odmocniny, tzn. že se definuje jen pro $x\geq0$ a navíc se řekne, že je kladná, tzn. že z možností $5^2=25=(-5)^2$ se vybere ta první.

Jakmile začneš pracovat s komplexními mocninami, připustíš všechny možnosti, např. tedy $5$ i $-5$ . Zároveň si pak všimneš (pomocí gon. tvaru), že v kompexním oboru se nemá smysl omezovat na $x\geq0$ a definuješ to všude.

Proto tvůj zápis $\sqrt{xi^2}$ je matoucí, protože není jasné, kterým z těch dvou způsobů interpretuješ $\sqrt{}$ . Myslím, že to je stejný problém jako u "důkazu", že $1=-1$ .

Nicméně idea je správná a pokud to interpretuješ jako komplexní mocninu, dostaneš pro $x<0$ , že
$x^{\frac12}=(i^2(-x))^{\frac12}=\pm i\pm\sqrt{-x}=\pm i(-x)^{\frac12}$ ,
Ta poslední rovnost tady taky není úplně zřejmá, nejprůhlednější je prostě mocnit v gon. tvaru:
$x^{\frac12}=(|x|(\cos{\pi}+i\sin{\pi}))^{\frac12}=(-x)^{\frac12}(\cos\tfrac{\pi}2+i\sin\tfrac{\pi}2)=i(-x)^{\frac12}$ , nebo
$=(-x)^{\frac12}(\cos\tfrac{3\pi}2+i\sin\tfrac{3\pi}2)=-i(-x)^{\frac12}$ .