Matematické Fórum

axel · 15. 03. 2017 16:44

Ahoj mám další řadu, která se mi nedaří rozlousknout:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n (\frac{1}{e})^n}{n!}$

Zkoušel jsem použít podílové kritérium, ale k ničemu to nevedlo, dostal jsem výsledek 1 :(

Brano · 15. 03. 2017 17:24

napada mi len Stirlingova aproximacia
pripominam, ze $f(n)\sim g(n)$ znamena, ze $\frac{f(n)}{g(n)}\to 1$
Cize mame:
$n!\sim \sqrt{2\pi n}$\frac{n}{e}$^n$
$\frac{1}{n!}$\frac{n}{e}$^n\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}$
takze sataci vysetrovat konvergenciu $\sum\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}$ co diverguje

vanok · 15. 03. 2017 17:24 — Editoval vanok (15. 03. 2017 18:12)

Ahoj ↑ axel:,
Napis podrobne tvoj pokus.
Edit. Metoda navrhnuta ↑ Brano: je vyborna.

axel · 15. 03. 2017 18:20 — Editoval axel (15. 03. 2017 18:24)

↑ vanok:
Napíšu to bez limity, tu dám až na konec ;)

$\frac{(n+1)\cdot(n+1)^n}{e\cdot e^n \cdot(n+1)\cdot n!} \cdot \frac{n!\cdot e^n}{n^n}$

Po úpravě:

$\frac{(n+1)^n}{e} \cdot \frac{1}{n^n}=\frac{1}{e}\cdot(\frac{n+1}{n})^n$

A z toho limita:
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{e}\cdot(\frac{n+1}{n})^n =\frac{1}{e}\lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n})^n$

Takže limita
$\lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n})^n$ což je limita typu $1^\infty$

Úprava:
$\lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n})^n = \lim_{n\to\infty} e^{n\cdot\ln\frac{n+1}{n}}$

Takže řeším limitu:
$\lim_{n\to\infty} {n\cdot\ln\frac{n+1}{n}}$

což je limita typu $\infty \cdot 0$ , takže úprava:
$\lim_{n\to\infty} \frac{{\ln\frac{n+1}{n}}}{\frac{1}{n}}$ a L.H. pravidlo:
$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n+1}\cdot\frac{-1}{n^2}}{\frac{-1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$

A teď když se ke všemu zpětně vrátím dostanu:
$\frac{1}{e}\cdot e^1 =1$ a jsem v háji, podílové kritérium nefunguje :(

Podle výsledků bude řada konvergovat.

vanok · 15. 03. 2017 22:33 — Editoval vanok (15. 03. 2017 22:36)

Pozor, iste vies, ze $\lim_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n})^n = \lim_{n\to\infty}$1+\frac1n $^n=$ Toto je znama limita. Ze.

Ano, a tu mas potom nerozhodnu situaciu...

Pavel · 15. 03. 2017 23:14

↑ axel:

Stirlingova aproximace není nutná. Stačí použít např. limitní Raabeovo kritérium. To definitivně rozhodne.

axel · 16. 03. 2017 14:10

↑ Pavel:

Nějak mi to nevychází s tím limitním Raabeovým kritériem:

$\lim_{n\to\infty} n\cdot\{1-\frac{[\frac{n+1}{e}]^n\cdot\frac{n+1}{e}}{(n+1)\cdot n!}\cdot\frac{n!}{[\frac{n}{e}]^n}\}=\lim_{n\to\infty} n\cdot(1-\frac{(n+1)^n}{n^n\cdot e})$

A at´s tím pak dělám cokoliv, nikdy mi nevychází limita číslo větší než jedna.

Jj · 16. 03. 2017 19:19

↑ axel:

Zdravím.

V mé chytré knize je Raabeovo limitní kritérium uvedeno takto:

$\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) = m$ , pak pří m > 1 řada konverguje, při m < 1 rada diverguje.

Podle toho bych řekl, že v dané úloze bude

$m= \cdots =\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}-1\right)=\frac{1}{2}$ (podle Wolframu).

Tudíž řada je divergentní.

Kromě toho se v knize u Raabeova kritéria uvádí, že je-li (od určitého indexu n_0 počínaje) stále

$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) \le 1$ , pak řada diverguje. Což lze v řešené úloze podle mě posoudit jednodušeji než počítat limitu.

vanok · 16. 03. 2017 19:44

Poznamka.
Je uzitocne pozriet sem
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Convergence_tests
"Raabe-Duhamel" test sa da vyjadrit dvomi sposobmy, tak pozor na to!

axel · 16. 03. 2017 19:49

↑ Jj:

Nějak nechápu, jak ta limita může vyjít $\frac{1}{2}$ :(

Jj · 16. 03. 2017 19:52

↑ axel:

To já taky ne (já jsem tu limitu nezvládl) - proto jsem to svedl na Wolfram.

Pavel · 16. 03. 2017 22:44

↑ axel:

Limita opravdu vychází rovna 1/2. Postup je docela triviální, spočívá ve vhodné substituci, úpravě, použití známých (tabulkových) limit a použítím l'hospitalova pravdila:

$\lim_{n\to\infty} n\cdot\left(1-\frac{(n+1)^n}{n^n\cdot\mathrm e}\right) &=\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{\mathrm e-\left(1+\frac 1n\right)^n}{\mathrm e} =\lim_{m\to 0^+}\frac{\mathrm e-(1+m)^{\frac 1m}}{m\cdot\mathrm e} =\lim_{m\to 0^+}\frac{\mathrm e-\mathrm e^{\frac 1m\cdot\ln(1+m)}}{m\cdot\mathrm e}\\[.5\baselineskip] &=\underbrace{\lim_{m\to 0^+}\frac{\mathrm e^{\frac 1m\cdot\ln(1+m)}}{\mathrm e}}_{=1}\cdot\lim_{m\to 0^+}\frac{\mathrm e^{1-\frac 1m\cdot\ln(1+m)}-1}{m} =\lim_{m\to 0^+}\frac{\mathrm e^{1-\frac 1m\cdot\ln(1+m)}-1}{m}\\[.5\baselineskip] &=\underbrace{\lim_{m\to 0^+}\frac{\mathrm e^{1-\frac 1m\cdot\ln(1+m)}-1}{1-\frac 1m\cdot\ln(1+m)}}_{=1}\cdot\lim_{m\to 0^+}\frac{1-\frac 1m\cdot\ln(1+m)}{m} =\lim_{m\to 0^+}\frac{m-\ln(1+m)}{m^2}\\[.5\baselineskip] &\stackrel{\text{l'hosp}}{=}\lim_{m\to 0^+}\frac{1-\frac 1{1+m}}{2m} =\boldsymbol{\frac 12}$

Řada tedy diverguje.

Marian · 17. 03. 2017 08:10

↑ Pavel:

Připojím pouze krátkou poznámku...

Postupoval bych podobně, jen bych aplikoval l'Hospitalovo pravidlo už na konci druhého řádku.

vanok · 17. 03. 2017 10:49

Poznamka.
Ina mozna cesta je pouzitie asymptotickeho rozvoja.

axel · 17. 03. 2017 15:58

↑ Pavel:

Díky moc

Pavel · 17. 03. 2017 22:37

↑ Marian:

To by šlo, l'hospitalovo pravidlo bys však musel použít alespoň dvakrát.

vanok · 19. 03. 2017 19:53 — Editoval vanok (20. 03. 2017 05:03)

Pozdravujem ↑ Jj:,
Podla mna tu je spravne vyjadreny Raabe-ov test (v beznej forme)... ako pripomeute tu https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ratio_test
Je pravda, ze ten test da limitu 1/2 a ukaze divergenciu danej serie.

Limita, ktoru pocita kolega ↑ Pavel:, je tiez 1/2.
No neviem ci potom ide stale o test priamo dokazany Raabe-om?
Bolo by zaujimave mat o tom historicke podklady.
Poznamka
V oboch pripadoch jeden riadok staci na urcenie asymptotickych postupnosti vyrazov v pocitanych limitach co nam umozni konstatovat, ze tieto za lisia od druheho clena.(pochopitelne tieto rozvoje daju okamzite aj citovane limity)

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2017 16:44

Nekonečné řady

#2 15. 03. 2017 17:24

Re: Nekonečné řady

#3 15. 03. 2017 17:24 — Editoval vanok (15. 03. 2017 18:12)

Re: Nekonečné řady

#4 15. 03. 2017 18:20 — Editoval axel (15. 03. 2017 18:24)

Re: Nekonečné řady

#5 15. 03. 2017 22:33 — Editoval vanok (15. 03. 2017 22:36)

Re: Nekonečné řady

#6 15. 03. 2017 23:14

Re: Nekonečné řady

#7 16. 03. 2017 14:10

Re: Nekonečné řady

#8 16. 03. 2017 19:19

Re: Nekonečné řady

#9 16. 03. 2017 19:44

Re: Nekonečné řady

#10 16. 03. 2017 19:49

Re: Nekonečné řady

#11 16. 03. 2017 19:52

Re: Nekonečné řady

#12 16. 03. 2017 22:44

Re: Nekonečné řady

#13 17. 03. 2017 08:10

Re: Nekonečné řady

#14 17. 03. 2017 10:49

Re: Nekonečné řady

#15 17. 03. 2017 15:58

Re: Nekonečné řady

#16 17. 03. 2017 22:37

Re: Nekonečné řady

#17 19. 03. 2017 19:53 — Editoval vanok (20. 03. 2017 05:03)

Re: Nekonečné řady

Zápatí