Matematické Fórum

Hanuna2 · 13. 03. 2017 09:59

Dobry den.
Mam priklad:

$\sqrt{x+4}\le x-4$

a) Urcim podminky:
$x+4\ge 0$
$x\ge -4$
Df.: x∈ <-4;∞ )

b)znamenka
L strana bude vzdy kladna
P strana muze byt kladna i zaporna
$x-4\ge 0$
$x\ge 4$

x∈ <4;∞) - prava strana je kladna
x∈ (-∞,4> - prava strana je zaporna

c)reseni
Nejprve vypocitam pripad, kdy je prava strana kladna. Obe strany jsou kladne, nerovnici muzu umocnit a nemusim obracet nerovnost.

$\sqrt{x+4}\le x-4$
vyjdou mi koreny 2 a 7, tzn. interval reseni x∈ <-∞,2> U <7;∞,). Musím udelat prunik s Df, tzn resenim jen x∈ <7;∞)

Ted musim vypocitat pripad, kdy prava strana je zaporna
....a ted prave nevim, jak se mi zmeni nerovnice - nekde jsem nasla, ze se meni znamenka nerovnosti, tzn., ze by byla nerovnice v podobe

$\sqrt{x+4}<x-4$

Je to tak?
H

Al1 · 13. 03. 2017 11:01

↑ Hanuna2:

Zdravím,

pokud $\sqrt{x+4}\le x-4$ a obě strany jsou kaldné, pak po umocnění dostaneš
$x+4\le (x-4)^{2}\nl x^{2}-9x+12\ge 0$

Kořeny kvadratického trojčlenu ale nejsou 7 a 2. Přepočítej.

Hanuna2

Korenem kvadratickeho trojcelnu je:
$x1=\frac{9+\sqrt{33}}{2}$ asi 7,37
$x2=\frac{9-\sqrt{33}}{2}$ asi 1,65

x∈ <-∞, 1,65 > U <7,37 ;∞). Prunik s Df, takze x∈ <7,37;∞)

H

Rumburak · 13. 03. 2017 12:31

↑ Hanuna2:

Ahoj.

Další možností, jak postupovat, je položit $\sqrt{x+4}= y$ . Zřejmě pak bude $y \ge 0$ ,
$x-4 = (x + 4) - 8 = y^2 - 8$ a nerovnice $\sqrt{x+4}\le x-4$

pak dostane tvar $y\le y^2 - 8$ neboli

(1) $y^2 - y - 8 \ge 0$ ,

kterou řešíme za podmínky $y \ge 0$ , jak uvedeno výše.

Hanuna2 · 13. 03. 2017 12:56

A poradite mi, prosim, nekdo s moji otazkou k prikladu, kdy prava strana je zaporna?
....prave nevim, jak se mi zmeni nerovnice - nekde jsem nasla, ze se meni znamenka nerovnosti, tzn., ze by byla nerovnice v podobe. Jak je to?
H

Rumburak

↑ Hanuna2:

Pokud je o nerovnici

(0) $\sqrt{x+4}\le x-4$

s reálnou neznámou, pak její levá strana

(1) $\sqrt{x+4}$

je definována pouze pro $x \ge -4$ (jak plyne z definičního oboru druhé odmocniny).
Při tom výraz (1) nabývá pouze nezáporných hodnot. Takže i pravá strana nerovnice (0)
nabývá nezáporných hodnot v bodech, které nerovnici (0) vyhovují. Neboli: reálné číslo $x$
s vlastností $x - 4 < 0$ NEMŮŽE vyhovovat nerovnici 0.

Hanuna2 · 13. 03. 2017 14:22

Dekuju...resenim teto nerovnice je tedy K= <7,37;∞).
H

Al1 · 13. 03. 2017 16:14 — Editoval Al1 (14. 03. 2017 07:54)

↑ Hanuna2:

Nikoli, řešením je $K=\left\langle\frac{9+\sqrt{33}}{2};\infty \right)$

Cheop · 14. 03. 2017 06:56 — Editoval Cheop (14. 03. 2017 06:56)

↑ Al1:
Zdravím, jen technická - řešením je toto:
$K=\left\langle\frac{9+\sqrt{33}}{2};\infty \right)$

Al1 · 14. 03. 2017 07:54

↑ Cheop:

Zdravím,

a děkuji.

Hanuna2 · 14. 03. 2017 07:59

Děkuji.
H

Hanuna2 · 22. 03. 2017 10:36

↑ Rumburak:

Dobrý den,
mám ještě dotaz k rozboru nerovnice:

*rozumim, ze jsem si stanovila Df.: x∈ <-4;∞ )
* pravou stranu si rozdelila na dve vetve
x∈ <4;∞) - prava strana je kladna
x∈ (-∞,4> - prava strana je zaporna
*pro vetev, kdy x∈ <4;∞) - prava strana je kladna vypocitala koreny kvadraticke nerovnice, stanovila interval a udelala prunik s Df
*ale mam jeste problem s druhou vetvi, kdy x∈ (-∞,4> - prava strana je zaporna.
**musim brat na vedomi stale Df.: x∈ <-4;∞ ), coz mi vylouci z prave strany hodnoty x∈ (∞,-4) a pravou stranu mam ve vetvi, kde je interval x∈ (-∞,4>. Zbyvaji mi jeste hodnoty x∈ (-4,4). Logicky vidim, ze hodnoty z tohoto intveralu do nerovnice nemohu dosadit - stanovena nerovnost by neplatila, ale jak to provest pocetne?

Komentar, viz nize jsem cetla nekolikrat, chapu, ze se musim ridit Df., ale jak si "vypocetne" vyloucit hodnoty x∈ (-4,4), kt. Df., nevylucuje.

(0) $\sqrt{x+4}\le x-4$

s reálnou neznámou, pak její levá strana

(1) $\sqrt{x+4}$

je definována pouze pro $x \ge -4$ (jak plyne z definičního oboru druhé odmocniny).
Při tom výraz (1) nabývá pouze nezáporných hodnot. Takže i pravá strana nerovnice (0)
nabývá nezáporných hodnot v bodech, které nerovnici (0) vyhovují. Neboli: reálné číslo $x$
s vlastností $x - 4 < 0$ NEMŮŽE vyhovovat nerovnici 0.

H

LukasM · 22. 03. 2017 11:10

↑ Hanuna2:
Já asi nerozumím, co na tom chceš počítat. Na levé straně je vždy nezáporné číslo. Pokud by na pravé straně mělo být číslo záporné (což nastane pro $x<4$ ), nerovnice nemůže mít řešení, protože záporné číslo nikdy nebude větší než nezáporné. Hotovo. Ani není potřeba dělat ten průnik s definičním oborem té odmocniny. Tento argument funguje pro x ostře menší než 4, o čtyřce samotné neříká nic (v nerovnici je neostrá nerovnost, takže by taky na obou stranách mohla být nula) - ovšem kdyby čtyřka byla řešením, už bychom to objevili v předchozím případě, kdy byla pravá strana nezáporná.

Jinak poznámka, která s tím velmi úzce souvisí - dávej pozor na rozdíl mezi slovy kladný a nezáporný, a vůbec na všechny krajní body různých intervalů. V příspěvku výše např. píšeš "x∈ <4;∞) - prava strana je kladna". Není, mělo by tam být nezáporná. Je potřeba to rozlišovat, protože kdo to nedělá, může pak udělat chybu s tím krajním bodem. V nejhorším případě ho třeba zapomene zahrnout do kteréhokoli případu. U této úlohy to nedělá problém, u jiné by mohlo.

misaH · 22. 03. 2017 11:59

↑ LukasM:

:-)

Hanuna2 · 22. 03. 2017 12:02

↑ LukasM:
Dobre,dekuju....a i za upozorneni na terminologii.

H

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2017 09:59

Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#2 13. 03. 2017 11:01

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#3 13. 03. 2017 11:54 — Editoval Hanuna2 (13. 03. 2017 12:00)

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#4 13. 03. 2017 12:31

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#5 13. 03. 2017 12:56

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#6 13. 03. 2017 13:41 — Editoval Rumburak (13. 03. 2017 13:44)

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#7 13. 03. 2017 14:22

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#8 13. 03. 2017 16:14 — Editoval Al1 (14. 03. 2017 07:54)

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#9 14. 03. 2017 06:56 — Editoval Cheop (14. 03. 2017 06:56)

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#10 14. 03. 2017 07:54

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#11 14. 03. 2017 07:59

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#12 22. 03. 2017 10:36

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#13 22. 03. 2017 11:10

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#14 22. 03. 2017 11:59

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

#15 22. 03. 2017 12:02

Re: Nerovnice s neznamou pod odmocninou

Zápatí