Matematické Fórum

qwasyxer · 23. 03. 2017 00:21

Dobrý den, mohl by mi někdo zkontrolovat postup? Bohužel nevím, kde dělám chybu a nemůžu se dopočítat k řešení uvedném u zadání. Děkuji moc za pomoc.

Zjistěte střední doběh mi - mezonů, které vznikají v horních vrstvách atmosféry vlivem kosmického záření.
Celková energie těchto mezonů je 5*10^9 eV, rychlost téměř rovna rychlosti světla, hmotnost 200 krát větší než hmotnost elektronu a střední doba života 2,2*10^-6 s.

postupoval jsem dle: http://www.ktf.upol.cz/joch/kinematika/mezonypi.html
s= $l=vT=vT_0\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}=0.99*3*10^8*2,2*10^-6*\sqrt{1-(0.99)^2}=92 m$
ale má to být 33 km

edison · 23. 03. 2017 03:16

Chyba je v předpokladu, že mezon letí 99% c, což není obecné pravidlo, ale hodnota uvedená pro ilustraci a týkala se laboratorního experimentu na ne moc výkonném urychlovači.

Pro uvedený postup je nutno rychlost nejprve spočítat z v zadání uvedené energie a (předpokládám, že asi klidové) hmotnosti. A po chvíli přemýšlení mě napadlo, že ani nebude potřeba vypočítat tu rychlost a že to bude jednodušší, než odkazovaný postup:-)

qwasyxer · 23. 03. 2017 09:48

↑ edison:
Díky a jaké řešení Tě napadlo?

Jinak asi teda takto: E=5*10^9 eV = 8,011*10^-10 J m=200*9,109*10^-31 kg

$E=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^{2}}}$
$1-(\frac{mc^{2}}{E})^{2}={(\frac{v}{c})^{2}}$
$v=c\sqrt{1-\frac{mc^{2}}{E})^{2}}$
$v=3*10^8\sqrt{1-(\frac{200*9,109*10^{-31}*(3*10^{8})^{2}}{8,011*10^{-10}})^{2}}$
$v=299937158 ms^{-1}$

$l=vT=vT_0\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}=299937158*2,2*10^{-6}*\sqrt{1-(\frac{299937158}{3*10^{8}})^2}=13,5 m$
nebo:
$l=vT=299937158*2,2*10^{-6}=659,86 m$

Ale 33 km je od toho nahony vzdáleno

edison · 23. 03. 2017 11:14

To je tak složitý, že se mi to ani nechce kontrolovat:-)

Ve skutečnosti stačí ze zadání zcela triviálně určit gamu a pak zas triviálně vypočíst výsledek.

LukasM · 23. 03. 2017 11:15 — Editoval LukasM (23. 03. 2017 11:17)

↑ qwasyxer:
Je potřeba trochu přemýšlet. Například nerozumím, proč uvádíš dvě různé možnosti výsledku, když ta druhá je evidentně špatně. Pokud je tvým cílem najít libovolnou kombinaci těch zadaných čísel, která dá výsledek kolem 33 km, není to správný přístup.

Jsou dvě možnosti jak postupovat. Buď se budeš dívat z pohledu vnějšího pozorovatele, který se diví, proč mezon žije déle než 2,2 us. Stačí pak spočítat o kolik se dilatuje čas mezonu, a potom jakou vzdálenost mezon za tu dobu uletí rychlostí c (nebo v, z hlediska kinematiky je to skoro totéž). Druhá možnost je dívat se z pohledu mezonu, který žije ty své 2,2 us, a proti němu letí Země - která je ovšem relativisticky kontrahovaná. Takže zatímco mezon ve své soustavě počítá "normálně", jeho vypočítanou vzdálenost je třeba transformovat do soustavy Země. Obojí vyjde stejně, jak si můžeš zkusit.

Tys evidentně zvolil možnost 1. Rychlost mezonu jsi vypočítal, pokud se dobře dívám, správně. $T_0$ má evidentně značit dobu života mezonu v jeho soustavě, $T$ je doba života, kterou vidí vnější pozorovatel. Fajn. Mám jen jednu otázku. Který z těch dvou časů bude větší? Odpovídá to tvému výpočtu? Pak jistě přijdeš na to, co je špatně a opravíš to. Jsi jen krůček od řešení.

Pokud jde o tu poznámku od ↑ edison: o snadnějším postupu. Podívej se na celý postup a zamysli se, jestli opravdu potřebuješ spočítat přímo tu rychlost. Alespoň předpokládám, že tak to edison myslel. (Edit: podle předchozího příspěvku je vidět, že ano.)

Edit2: Ještě jedna věc. Doporučuji klidové hmotnosti důsledně oindexovávat nulou. I když to tak třeba neděláte, bude se ti lépe komunikovat s ostatními, kteří na to mohou být zvyklí.

edison · 23. 03. 2017 11:23

Ještě poznámka: Hmotnost nepřepočítávat na kg. Jednodušší je nechat MeV.

qwasyxer

Dobře, čili si spočtu gamu (předpokládám, že takto):
$E=m_0c^{2}\gamma$
$\gamma =\frac{E}{m_0c^2}$
$\gamma =\frac{8,011*10^-10}{200*9,109*10^-31*9*10^{16}}$
$\gamma =48,859$

Pak
$T=T_0*\gamma =2,2*10^{-6}*48,859=1,075*10^{-4}$

Tak to je tedy čas, ale dráha je rychlost krát čas, ale pořád mi chybí ta rychlost.

LukasM · 23. 03. 2017 11:52

↑ qwasyxer:
Rychlost je téměř c, což je jednak v zadání, jednak je to jasné z velké hodnoty gama faktoru. Takže dosaď c a hotovo. Neuděláš prakticky žádnou chybu.

qwasyxer · 23. 03. 2017 12:00

↑ LukasM:
Aha, takže pak l=T*c=1,075*10^-4*3*10^8=32 250 m, což už je skoro 33 km. Tak snad jsou ty přeočty jednotek správně.

A děkuji moc :)

LukasM · 23. 03. 2017 12:02

↑ qwasyxer:
Ano. A jinak si můžeš ještě zkusit vynásobit těch 660 m (co ti tam někde výše vyšlo) tím vypočítaným gama faktorem. To neuvěříš co ti vyjde.

qwasyxer · 23. 03. 2017 12:08

↑ LukasM:
No pěkně :)

edison · 23. 03. 2017 16:20

Ještě poznámka pro příští podobné úlohy:
I ta hmotnost elektronu se dá rovnou zadat v MeV (všude je tak uvedená a není od věci si jí pamatovat), pak je to ještě míň počítání (E/Ee) a nejsou to takový hausnumera (5000/(0,51*200)).

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2017 00:21

Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#2 23. 03. 2017 03:16

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#3 23. 03. 2017 09:48

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#4 23. 03. 2017 11:14

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#5 23. 03. 2017 11:15 — Editoval LukasM (23. 03. 2017 11:17)

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#6 23. 03. 2017 11:23

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#7 23. 03. 2017 11:46 — Editoval qwasyxer (23. 03. 2017 11:48)

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#8 23. 03. 2017 11:52

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#9 23. 03. 2017 12:00

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#10 23. 03. 2017 12:02

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#11 23. 03. 2017 12:08

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

#12 23. 03. 2017 16:20

Re: Teorie relativity - střední doběh mi - mezonů

Zápatí