Matematické Fórum

axel · 25. 03. 2017 20:08

Ahoj, prosím o pomoc s příkladem:

Užitím derivováním nebo integrováním řady člen po členu, určete funkci, která je součtem řady $\frac{x}{1\cdot 2} + \frac{x^2}{2\cdot 3}+\frac{x^3}{3\cdot 4}+\frac{x^4}{4\cdot 5 }....$

Po derivování člen po členu jsem dostal řadu:
$\frac{1}{2} + \frac{x}{3}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{5 }... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+2}$

A nějak nevím, co dál.

Stýv · 25. 03. 2017 20:17

zkusil bych vynásobit x^2 a znovu derivovat

axel · 25. 03. 2017 20:54

po vynásobení $x^2$ :
$\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+...$
derivace:
$\frac{2x}{2}+\frac{3x^2}{3}+\frac{4x^3}{4}+\frac{5x^4}{5}+ ...$

$x+x^2+x^3+x^4+ ...$
což je geometrická posloupnost a její součet mi vyšel: $\frac{x}{1-x}$ A teď budu integrovat:
$\int_{}^{}\frac{x}{1-x}$ substituce $t=1-x$
$\int\frac{t-1}{t}= ... =1 - x - \ln(1-x)$

A teď co, nějak jsem se zasekl