Matematické Fórum

alhom · 28. 03. 2017 18:07

Koule se pohybuje bez tření po nakloněné rovině. Vypočítejte úhel roviny, když dráhu 20 m urazí za 4 sekundy.
vychází mi to 14°, ale má to vyjit 20,5°
prosím, kdyby někdo věděl, byl bych moc rád. předem kdyžtak děkuji.

Jj · 28. 03. 2017 19:18 — Editoval Jj (28. 03. 2017 19:19)

↑ alhom:

Vychází mi to stejně (cca 14.5°).

alhom · 28. 03. 2017 20:03

↑ Jj:
děkuji

zdenek1 · 28. 03. 2017 22:35

↑ alhom:
Podle mě počítají s tím, že se ta koule valí. Pak je 20,5° dobře.

alhom · 28. 03. 2017 22:56

↑ zdenek1:
tak to teda vůbec nevím, jak tu valivost tý koule tam započítat.
prosím moc pomohl byste mi?

edison · 28. 03. 2017 23:16

Jde o to, že roztáčení koule působí, jako kdyby koule byla z hlediska setrvačnosti těžší, ale tato hmotnost navíc ji již netáhne dolů.

Jednoduché by to bylo, pokud by se jednalo o trubku s velmi tenkou stěnou - pak by se prostě hmotnost trubky urychlovala dvakrát: Jednou normálně a jednou roztáčení. Takže m ve vzorcích bude 2x větší a zrychlení poloviční.

Takhle to bude složitější, bude to chtít se zamyslet nad pojmem rotační moment a odvodit/dohledat vzoreček pro jeho výpočet u koule.

alhom · 28. 03. 2017 23:23

↑ edison: no to teda už vůbec nevím, jedině to někde dohledat, diky!

edison · 28. 03. 2017 23:56

https://cs.wikipedia.org/wiki/Moment_setrva%C4%8Dnosti

edison · 29. 03. 2017 00:39

Tak jsem si to jen tak zkusil:
1. Vzal jsem těch 14,5° jako mezivýsledek
2. Z něho sin
3. Ten jsem zvýšil v poměru 1+konstanta ze vzorečku na té wiki *
4. Udělal z toho arcsin - vyšlo 20,5...°

*Překvapuje mě, proč je ta konstanta takové hezky kulaté číslo, čekal bych, že v tom bude někde schované alespoň pí. Dotaz na zdejší matematiky: Jaktože je to takový jednoduchý zlomek? :-)

KennyMcCormick · 29. 03. 2017 06:46

$\pi$ je schované ve hmotnosti koule. https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of … of_inertia

zdenek1 · 29. 03. 2017 08:11

Tak klasický postup:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-03/67478_pic.png
podle 2. Newtonova zákona
$mg\sin\alpha-T=ma$ (T - reakce podložky, která roztáčí kouli)
pohybová rovnice pro otáčivý pohyb
obecně $M=J\varepsilon$ (M - moment rozráčecí síly, J - moment setrvačnosti koule, $\varepsilon$ - úhlové zrychlení)
konkrétně
$Tr=\frac25mr^2\frac ar$
$T=\frac25ma$ a dosazením do 2NZ
$mg\sin\alpha=ma+\frac25ma=\frac75ma\ \Rightarrow\ a=\frac57 g\sin\alpha$

z kinematiky
$s=\frac12at^2\ \Rightarrow\ a=\frac{2s}{t^2}$
takže
$\frac{2s}{t^2}=\frac57 g\sin\alpha$

zbytek jsou počty