Matematické Fórum

kocourOggy · 27. 03. 2017 23:27

Zdravím,
mám potíže s jednou úlohou z lineární algebry:

Nechť $(R^{n}, +, \cdot )$ je lineární prostor a $M =\{\ (x_{1} , .., x_{n})\in R^{n} : \sum_{i=1}^{n}: x_{i} =0 \}$

Ověřte, že M je podprostor, určete jeho dimenzi a najděte bázi M.

Nejsem si příliš jistý, jak k této úloze přistoupit. Vím, že množina homogenního řešení soustavy $A \cdot x = \Theta$ (kde A a x jsou matice a $\Theta$ nulový vektor) je podprostorem $R^{n}$

Dá se podprostor teda ověřit například tak, že A si zvolím jako $(1, ..., 1)\in R^{n}$ s tím, že vektor $x\in M$ , kdy při násobení $A\cdot x$ vlastně jen sčítám prvky x a dostavám tak nulovou pravou stranu (přímo z definice M) a tudíž řešení soustavy a tudíž tedy i ověření že M je podprostor?

S bází a dimenzí už mám trochu větší potíže. Dimenzi si zvládnu napočítat přes hodnost, ale u takhle obecného zadání narážím, to samé s bází :/ Dokázal by mi prosím někdo poradit, jak na to?

Rumburak

↑ kocourOggy:
Ahoj.

Teorii lineárních rovnic k vyřešení této úlohy ani nepotřebujeme, stačí uvědomit si
elementární definice.

K důkazu, že $M =\{\ (x_{1} , .., x_{n})\in R^{n} : \sum_{i=1}^{n} x_{i} =0 \}$
je podprostorem v uvedeném LP $(R^{n}, +, \cdot )$ , stačí ověřit, že

(1) nulový vektor prostoru $(R^{n}, +, \cdot )$ patří do $M$ ,

(2) když $\vec{x} \in M, \vec{y} \in M$ , potom $\vec{x} + \vec{y} \in M$ ,

(3) když $\vec{x} \in M, \lambda \in R$ , potom $\lambda \vec{x} \in M$ .

(Poznámka: místo (1) stačí ukázat, že $M \ne \emptyset$ , a (1) pak vyplyne z (3) volbou $\lambda = 0$ .)

K nalezení báze podprostoru $M$ bude důležité uvědomit si, že tento podprostor je
ortogonálním doplňkem k podprostoru generovanému vektorem

$(1,1, ..., 1) \in R^{n}$ .

kocourOggy · 28. 03. 2017 20:35

↑ Rumburak:

Hm... přes tu uzavřenost na operace je to mnohem srozumitelnější.
Ortogonální bázi, skalární součin ani jim podobná "zvířátka" ještě zavedeny bohužel nemáme.
Nicméně prvek podprostoru $M =\{\ (x_{1} , .., x_{n})\in R^{n} : \sum_{i=1}^{n} x_{i} =0 \}$ se dá zapsat i jako $(x_{1} , .., x_{n-1}, -x_{1} -x_{2}.... - x_{n-1})$ tudíž dimenze je n-1 (volně si můžu zvolit n-1 prvků a n-tý už mám daný). Z toho se dá hezky zjistit i standartní báze:( (1,0,0...0,-1), (0,1,0,0...0,-1),..., (0,0,....,0,1,-1) ).

Děkuju za raduí! :)

vanok · 28. 03. 2017 21:17 — Editoval vanok (28. 03. 2017 21:20)

Ahoj ↑ kocourOggy:,
Skutocne je vela metod ako prist k vysledku.
Kolega ↑ Rumburak: ( pozdravujem) ti ukazal jednu cestu.
Tvoje myslienka z A sa da tiez pouzit.
$A:\Bbb R^n \to \Bbb R:x \mapsto A\cdot x$ je lin. aplikacia a jej jadro $Ker A$ je pochopitelne podpriestor ktory hladas. Jeho bazu a dim. si dobre vyjadril.

Dobre pokracovanie.

Rumburak · 29. 03. 2017 11:12

↑ kocourOggy:
Výborně !

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2017 23:27

Lineární algebra a určení dimenze, báze u obecněji zadaného prostoru

#2 28. 03. 2017 11:12 — Editoval Rumburak (28. 03. 2017 14:54)

Re: Lineární algebra a určení dimenze, báze u obecněji zadaného prostoru

#3 28. 03. 2017 20:35

Re: Lineární algebra a určení dimenze, báze u obecněji zadaného prostoru

#4 28. 03. 2017 21:17 — Editoval vanok (28. 03. 2017 21:20)

Re: Lineární algebra a určení dimenze, báze u obecněji zadaného prostoru

#5 29. 03. 2017 11:12

Re: Lineární algebra a určení dimenze, báze u obecněji zadaného prostoru

Zápatí