Matematické Fórum

green19 · 29. 03. 2017 18:31

Ahoj,
neviete mi poradit, ako urcit vzorec pre n-ty clen postupnosti:
$a_{n}:0,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,1,2,0,0,0,0,...$
Teda jednotky su na poziciach 5,12,19,...(pripocitavam 7 pocnuc 5) a dvojky su na poziciach 6,13,20,...(pripocitavam 7 pocnuc 6).

vytautas · 29. 03. 2017 20:09

↑ green19:

$a_n=1$ ak $n \equiv 5 \mod 7$

$a_n=2$ ak $n \equiv 6 \mod 7$

$a_n=0$ inak

green19 · 29. 03. 2017 20:51

↑ vytautas: No praveze by som to potrebovala dat do jedneho vzorca pre akekolvek n...ak sa to vobec da.

Pavel · 29. 03. 2017 23:42

↑ green19:

$a_n=4n^6+4n^5+n^4+3n^3+3n^2+6n\mod 7$

green19 · 30. 03. 2017 08:20

↑ Pavel: a ako si na to prosim ta prisiel? Dik.

vanok · 30. 03. 2017 09:46

Ahoj ↑ green19:,
Napr. vdaka https://en.m.wikipedia.org/wiki/Polynom … erpolation

Pavel · 30. 03. 2017 11:39

↑ green19:

Stačí nalézt polynom $P(x)\in\mathbb Z_7[x]$ tak, aby

$P(0)&=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0\\ P(5)&=1\\ P(6)&=2.$

Stačí použít základy modulární aritmetiky.

Cynyc · 30. 03. 2017 12:58

↑ green19:Jestli není úkolem opravdu přímo ten vzorec a potřebujete to na něco jiného (jako, co já vím, limitu), pak vzorec skoro určitě není tou správnou cestou. Existují i jiné elementární vzorce než pomocí modulo, třeba lineární kombinace funkcí $\cos \pi n/k,\ k=1\dots 6$ (což ovšem vyžaduje vyřešit soustavu šesti rovnic o šesti neznámých s iracionálními koeficienty) nebo lze šikovně užít funkce $\sin(\pi(n-k)/3)$ a funkci signum ke konstrukci obecného vzorce, do kterého jen dosadíte prvních šest členů posloupnosti a vzorec z nich udělá periodu. Ve všech přípdech je ale výsledný vzorec tak složitý, že jakákoli práce s ním je velmi obtížná.

Pavel · 30. 03. 2017 13:21

↑ Cynyc:

Obávám se, že v tomto je situace ještě horší. Těch rovnic bude 7, počátečních podmínek je totiž 7. Posloupnost je samozřejmě dána diferenční rovnicí $a_{n+7}=a_n$ . Pracovat s lineární kombinací funkcí $\sin(2\pi(n-k)/7)$ chce značnou dávku odvahy.

vanok · 30. 03. 2017 18:27 — Editoval vanok (31. 03. 2017 01:07)

Ahoj ↑ Pavel:,
Langrangove interpolacne polynomy prisposobene na dane teleso sa daju pouzit.
Edit. Co da: $-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6))/(5*4*3*2)+\\ 2(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5))/(6*5*4*3*2) \mod7$

Cynyc · 30. 03. 2017 21:46

↑ Pavel: Oj, jak vidím, práce kvapná, málo platná: jednak jsem přehlédl, že opakující se část končí až nulou, takže perioda je 7, a jednak napsal nesmysl, lineární kombinaci je třeba dělat z $\cos 2k\pi/7$ , jinak by to nemělo příslušnou periodu. U $\sin(2\pi(n-k)/7$ jsem nepsal o lineární kombinaci, ale o použití signum, kterým lze snadno vyrobit charakteristické funkce zbytkových tříd modulo 7.

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2017 18:31

Vyjadrenie postupnosti

#2 29. 03. 2017 20:09

Re: Vyjadrenie postupnosti

#3 29. 03. 2017 20:51

Re: Vyjadrenie postupnosti

#4 29. 03. 2017 23:42

Re: Vyjadrenie postupnosti

#5 30. 03. 2017 08:20

Re: Vyjadrenie postupnosti

#6 30. 03. 2017 09:46

Re: Vyjadrenie postupnosti

#7 30. 03. 2017 11:39

Re: Vyjadrenie postupnosti

#8 30. 03. 2017 12:58

Re: Vyjadrenie postupnosti

#9 30. 03. 2017 13:21

Re: Vyjadrenie postupnosti

#10 30. 03. 2017 18:27 — Editoval vanok (31. 03. 2017 01:07)

Re: Vyjadrenie postupnosti

#11 30. 03. 2017 21:46

Re: Vyjadrenie postupnosti

Zápatí