Matematické Fórum

strixie29 · 31. 03. 2017 17:36

Zdravím, mám dokázat, že spojitý funkcionál $J:V\Rightarrow\mathbb{R} :J(v)=1-\int_0^1v^2(x)dx,$ $V=L^2(0,1)$ není slabě zdola polospojitý.
Prosím pomoc, vůbec nebím, jak na to.
Děkuji

Bati · 01. 04. 2017 23:12

Ahoj ↑ strixie29:,
tvůj funkcionál je vlastně mínus norma na L2. Norma je slabě zdola polospojitá a tak, pokud by byl i funkcionál J, znamenalo by to, že norma je slabě spojitá. To je ale spor, protože L2 je nekonečně dimenzionální, a tak normová topologie je v něm silnější než slabá topologie.

Pokud chceš přímočařejší argument, vezmi tedy nějakou posloupnost, která konverguje slabě, ale ne silně. Např. ortonormální bázi v L2. Ta jde slabě k nule, protože to jsou Fourierovy koeficienty konvergentní řady (viz Besselova nerovnost).

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2017 17:36

Slabě zdola polospojitý funkcionál

#2 01. 04. 2017 23:12

Re: Slabě zdola polospojitý funkcionál

Zápatí