Matematické Fórum

156me45th · 31. 03. 2017 17:49

Dobrý den,
zadání mého problému je:
Najděte takové $\alpha \in \mathbb{C}$ , aby $T = \{a+\alpha b |a,b\in \mathbb{Q}\}$ nebylo těleso, ověřte, že T není těleso.
Napadlo mě, že by to mohla být nula, protože potom by byl problém s opačným prvkem, tím prvkem by mohlo být jakékoliv b, součet dvou součinů, každého s nulou je nula.
S předchozím příkladem, kdy místo alfa bylo i a mělo se dokázat, že jde o těleso jsem problém neměl.

check_drummer · 31. 03. 2017 18:56

↑ 156me45th:
Ahoj, jaké prvky by obsahovalo T, pokud by bylo $\alpha = 0$ ?

156me45th · 31. 03. 2017 19:01

$a+0.b$ myslím, že $a$

vanok · 01. 04. 2017 05:45

Ahoj ↑ 156me45th:,
To si chcel povedat $\Bbb Q$
Co musi platit o $\alpha$ aby inverz $a+\alpha b$ bol v $T$ ?

156me45th

Mám pocit, že ať zvolím $\alpha$ jakékoli, tak vždy bude inverzní prvek součástí téhož tělesa, tedy pokud je nenulový.

vanok · 12. 04. 2017 11:53

ahoj ↑ 156me45th:,

Pocity nestacia! Treba dokaz alebo protiriklad.

Mozny postup:
Inverzny prvok z $a+\alpha b \in T$ v $\Bbb C$ lahko vyjadris.
Urob to!

A skus ho napisat vo forme $a'+\alpha b'\in T$

vanok · 12. 04. 2017 14:40 — Editoval vanok (12. 04. 2017 14:45)

Myslienka ( ktora pomoze vysvetlit o co ide).
Tu mas jednu situaciu.
Pre $\alpha = \sqrt 5-\sqrt3$ Pochopitelne toto cislo je v $\Bbb C$ .
Pre $a=0;b=1$ ( to je prvok z T, pre toto $\alpha$ ) najdi jeho inverz v $\Bbb C$ .
A ten (komplexny ) inverz co si nasiel je alebo nie je v T?

jarrro · 15. 05. 2017 07:58 — Editoval jarrro (15. 05. 2017 08:00)

Viem, že neskoro ale predtým som úlohe nevenoval pozornosť .
Aby to bolo teleso tak súčin musí byť tiež prvok teda musía existovať racionálne čísla $a, b$ tak, aby
$\alpha^2=a+b\alpha$
Teda riešenie úlohy je akékoľvek komplexné číslo, ktoré je transcendentné prípadne aj algebraické s minimálnym polynómom stupňa aspoň 3.
Myslím, že funguje aj naopak ( teda, že ak alfa je algebraické stupňa najviac 2 tak T je teleso), lebo ak je alfa racionálne tak T je množina všetkých racionálnych a ak je alfa stupňa 2 tak T je množina čísel tvaru $a+b\sqrt{c}$ pre a, b, c racionálne.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2017 17:49

Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

#2 31. 03. 2017 18:56

Re: Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

#3 31. 03. 2017 19:01

Re: Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

#4 01. 04. 2017 05:45

Re: Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

#5 12. 04. 2017 10:38 — Editoval 156me45th (12. 04. 2017 10:45)

Re: Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

#6 12. 04. 2017 11:53

Re: Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

#7 12. 04. 2017 14:40 — Editoval vanok (12. 04. 2017 14:45)

Re: Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

#8 15. 05. 2017 07:58 — Editoval jarrro (15. 05. 2017 08:00)

Re: Najděte komplexní číslo takové, aby T nebylo těleso

Zápatí