Matematické Fórum

liamlim · 30. 03. 2017 14:29

Ahoj. Přemýšlel jsem nad axiomy Peanovy aritmetiky a rád bych si ujasnil jednu konkrétní věc. Pro pořádek axiomy uvedu:

1) $0\in\mathbb{N}$
2) $n\in\mathbb{N}\Rightarrow S(n)\in\mathbb{N}$
3) $(n,m)\in\mathbb{N}^2 \Rightarrow ((m = n) \Leftrightarrow (S(m) = S(n))$
4) $n\in\mathbb{N} \Rightarrow S(n) \ne 0$

pozn.: Axiom indukce schválně vypouštím, což bych rád diskutoval.

a) Z axiomů plyne, že konečným aplikováním operace následníka dostaneme vždy číslo, které je obsaženo ve všech množinách, které vyhovují definici přirozených čísel.
b) Definice přirozených čísel není jednoznačná, přesto však díky (a) máme všechna čísla, která považujeme za přirozená (např 42) ve všech vyhovujících definicích.
c) Proč se bez indukce neobejdeme? Tím chci říct, proč tak trváme na tom, že tvrzení z teorie čísel dokazujeme pro VŠECHNA přirozená čísla? Jak by se situace změnila, pokud bychom namísto $(\forall n)(\varphi(n))$ psali $\neg(\exists n)(\forall m)((m < n) \Rightarrow (\varphi(m) \wedge \neg\varphi(n)))$ ? Jinými slovy když bychom dokázali, že neexistuje takové číslo, že pro něj tvrzení neplatí a pro všechna menší platí.

Chápu důsledky, které axiom indukce má. Nerozumím už ale jeho nezbytnosti. Indukce slouží v podstatě jen k tomu dokázat tvrzení pro VŠECHNA přirozená čísla. Proč je to potřeba? Nestačilo by dokázat tvrzení pro libovolně mnoho konečně čísel?

check_drummer · 30. 03. 2017 15:52

↑ liamlim:
Ahoj, a není to ekvivalentní s axiomem indukce?

liamlim

↑ check_drummer:

Na to se právě ptám. Jestli nemůžeme axiom indukce úplně vypustit a místo toho v případě, je-li indukce třeba, dokazovat $\neg(\exists n)(\forall m)((m < n) \Rightarrow (\varphi(m) \wedge \neg\varphi(n)))$ .

edit: takové tvrzení podle mě jde dokázat například sporem.

vanok · 30. 03. 2017 18:21

Pozdravujem.
Mozno nestardantne modely aritmetiky ti ciastocne odpovedia.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Non-sta … arithmetic

Rumburak

↑ liamlim:
Ahoj. Zdravím též kolegu ↑ vanok: a další diskutující.

Číselných množin, které vyhovují pouze axiomům 1, 2, 3, 4 z Tvého úvodního příspěvku,
je nekonečně mnoho. Položíme-li S(n) = n+1, pak těmto axiomům vyhovuje v roli
množiny N i množina komplexních čísel, EDIT: z níž vynecháme celá záporná čísla,
a mnohé další její podmnožiny.

Axiom indukce říká, že množina všech přirozených čísel je průnikem všech
takových číselných množin, neboli nejmenší takovou množinou ve smyslu inkluse.
Praktický důsledek: splňuje-li daná číselná množina X s funkci S podmínky 1, 2, 3, 4
a navíc princip indukce, znamená to, že X musí obsahovat množinu všech přiroz. čísel.

Pokud bychom se abstrahovali od pojmu "číslo", potom množin X vyhovujících při vhodné
volbě funkce S axiomům 1, 2, 3, 4, 5 (kde 5 je princip indukce ) je sice rovněž
nekonečně mnoho, avšak všechny tyto stuktury (X, S) jsou aspoň spolu isomorfní.

V tom tkví podstata axiomu indukce.

Zkus hledat hledat pojem "induktivní množina".

vanok · 01. 04. 2017 05:55 — Editoval vanok (01. 04. 2017 06:05)

Pozdravujem.
Jedno citanie
http://math.stackexchange.com/questions … arithmetic
a aj dalsie citania
http://math.stackexchange.com/questions … ano-axioms

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2017 14:29

Peanovy axiomy

#2 30. 03. 2017 15:52

Re: Peanovy axiomy

#3 30. 03. 2017 16:31 — Editoval liamlim (30. 03. 2017 16:32)

Re: Peanovy axiomy

#4 30. 03. 2017 18:21

Re: Peanovy axiomy

#5 31. 03. 2017 11:11 — Editoval Rumburak (31. 03. 2017 14:15)

Re: Peanovy axiomy

#6 01. 04. 2017 05:55 — Editoval vanok (01. 04. 2017 06:05)

Re: Peanovy axiomy

Zápatí