Matematické Fórum

mudej007

Zdravím,
potřeboval bych pomoci s vyšetřením konvergence následující řady:
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\alpha }}$
kde $\alpha$ > 1.
Mělo by vyjít, že pro alpha > 1 řada koverguje. Mohl by mi někdo říci proč?
Moc děkuji za odpovědi :)

Jj · 01. 04. 2017 20:58

↑ mudej007:

Dobrý den.

Řekl bych, že pro vyšetření konvergence uvedené řady je možno použít integrální kritérium.

mudej007 · 01. 04. 2017 21:06

↑ Jj:

Dobrý večer,

Integrální kritérium jsme ještě nedělali, není nějaký jiný způsob, např. nějaké vhodně zvolené srovnávací kritérium?

Bati · 01. 04. 2017 21:07

Ahoj.

↑ mudej007:
Pokud víme, že řada $\sum\frac1{n^\beta}$ konerguje pro $\beta>1$ , tak stačí použít fakt, že $\frac{\ln x}{x^{\varepsilon}}\to0$ pro $x\to\infty$ , $\varepsilon>0$ . Stačí vzít $\varepsilon=\frac{\alpha-1}2$ .

mudej007 · 01. 04. 2017 21:14

↑ Bati:

Nerozumím. Můžete to, prosím, vysvětlit jinak? Jediné, co u Vás vidím, je splnění nutné podmínky konvergence tj. $\lim_{n\to\infty } \frac{\ln n}{n^{\alpha }} = 0$

Bati · 01. 04. 2017 21:22

$\frac{\ln n}{n^{\alpha}}=\frac{\ln n}{n^{\frac{\alpha-1}2}}\cdot\frac1{n^{\frac{\alpha+1}2}}\leq \frac1{n^{\frac{\alpha+1}2}}$ , kde nerovnost platí pro dostatečně velká n díky té limitě, co jsem napsal.

mudej007 · 01. 04. 2017 21:32

↑ Bati:

Aha. Tak už je to jasné, a poté použitím srovnávacího kritéria dojdeme k závěru, že ta původní řada konverguje. Moc díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2017 19:25 — Editoval mudej007 (01. 04. 2017 20:26)

Konvergence řady s nezápornými členy

#2 01. 04. 2017 20:58

Re: Konvergence řady s nezápornými členy

#3 01. 04. 2017 21:06

Re: Konvergence řady s nezápornými členy

#4 01. 04. 2017 21:07

Re: Konvergence řady s nezápornými členy

#5 01. 04. 2017 21:14

Re: Konvergence řady s nezápornými členy

#6 01. 04. 2017 21:22

Re: Konvergence řady s nezápornými členy

#7 01. 04. 2017 21:32

Re: Konvergence řady s nezápornými členy

Zápatí