Matematické Fórum

marostul · 30. 03. 2017 18:55

v odvodení pre kinetickú energiu so vzorca Ek=(m0/(1-v^2/c^2)^0,5)-m0 $\int_{}^{}$ v*ds/(1-v^2/c^2)^0,5)=m*c^2-m0*c^2 ako je integrál int_{}^{}$v*ds/(1-v^2/c^2)^0,5) odvodený? pokiaľ by tam nebol gama faktor, resp. (1-v^2/c^2)^0,5) v menovateli tak to vychádza m0* 1/2*v^2.

edison · 30. 03. 2017 19:37

Je dobré při sestavování LaTexových vzorců používat náhled. Tahle je výsledek nečitelný.

Hlavní chybu ti tam vidím, že je potřeba, aby na začátku a konci (ne uvnitř) byl znak $

Ale když jsme to zkusil doplnit, tak byl výsledek nějaký divný, asi je tam ještě něco špatně.

Zkus dotaz napsat znovu:-)

marostul · 30. 03. 2017 21:00

Pre odvodenie kinetickej energie je použitý vzorec $Ek=\frac{m_{0}v^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m_{0}\int_{0}^{v}\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ . S toho je odvodený vzorec $Ek=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m_{0}c^{2}$ . Môžem poprosiť o odvodenie toho vzorca.

edison · 31. 03. 2017 01:27

Asi se do integrování zatím nikomu nechce, tak zkusím pomoct linkem:

Tady to odvozují, přičemž z textu plyne, že by se to nějak tak mělo integrovat, ale autor zvolil snazší cestu, která se tomu vyhne:
http://www.ktf.upol.cz/joch/dynamika/kineticka.html

marostul · 31. 03. 2017 09:35

↑ edison:↑ edison: jedná sa mi len o odvodenie integrálu $\int_{0}^{v}\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

jarrro · 31. 03. 2017 11:11

↑ marostul:substitúcia $t=1-\frac{v^2}{c^2}$

marostul · 31. 03. 2017 16:44

počítal som to podľa substitúcie ale nepasovali my hodnoty $Ek=\frac{m_{0}v^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m_{0}\int_{0}^{v}\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ = $Ek=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-m_{0}c^{2}$ . dokladal som to podľa vzorových vzorcov a výsledok mi nevyšiel. za v som dosadil 200000 m/s. viete mi poradiť ako by to správne malo vyzerať

KennyMcCormick · 01. 04. 2017 00:39

Napiš sem svůj výpočet integrálu a my se na to podíváme.

marostul · 01. 04. 2017 21:02

podľa inetgrálu $\int_{0}^{v}\frac{xdx}{\sqrt{1-x^{2}}} som určil hodnoty t_{1}=1-0^{2} a za t_{2}=1-x^{2} pre dx$ dx=\frac{dt}{-2x} $a pre x$ x=\frac{v}{c} $nie som si istý ako som mal vkladať hodnoty do$ t_{1} a t_{2} $či má byť iba hodnota miesto x iba v potom by vyšlo za$ t_{1}=1-0\cdot v^{2} a za t_{2}=1-v^{2}$

marostul · 01. 04. 2017 21:23

zle mi to prepísalo napíšem ešte raz. za pre x som použil v tom prípade rýchlosť v, za t1 som dosadil $t_{1}=1-0\cdot x^{2}=1-0$ pre t2 $t_{2}=1-x^{2}=1-v^{2}$ pre dx som mal $dx=\frac{dt}{-2x}=\frac{dt}{-2\frac{v}{c}}$

KennyMcCormick · 03. 04. 2017 07:19

Nepoužívej substituci $t=1-v^2$ , ale $t=1-\frac{v^2}{c^2}$ . Tím pádem $\d t=-\frac{2v}{c^2}\d v$ a integrál po substituci bude:

$\int_{0}^{v}\frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=-\frac{c^2}2\displaystyle\int\limits_0^v -\frac2{c^2}\cdot \frac{v\d v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} = -\frac{c^2}2\displaystyle\int\limits_1^{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac1{\sqrt{t}}\d t$

Víš, jak dál?

marostul · 03. 04. 2017 14:24

po integrácii vykrátení $\int_{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}^{1}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\cdot \frac{v^{2}}{2}$ potom odrátam $m_{0}((1\cdot \sqrt{t_{2}})-(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})\cdot \sqrt{t_{1}}))\cdot \frac{v^{2}}{2}$ nie som si istý či je to správne

marostul · 03. 04. 2017 15:44

prepočítaval som to ale mi to nevyšlo zle som asi dosadil do výpočtu integrálu, nemôžem na internete nájsť podobný príklad na tento integrál.

Ferdish

↑ marostul: Tento integrál nie je vôbec zložitý. Kľúčom je vhodná substitúcia (ako ti v #6 naznačil kolega ↑ jarrro:), ktorá ho transformuje na integrál typu $\int_{a}^{b}x^n\text{d}x$ , kde $n\in \mathbb{R}-\{-1\}$ , čo je najprimitívnejší integrál hneď po konštante :)

Kontrolný výpočet:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

marostul · 03. 04. 2017 21:22

Ďakujem za pomoc za hlavnú chybu som urobil v tom prvom vzťahu za dt $dt=-\frac{2dv}{c^{2}}$ som nevedel, že $c^{2}$ ostáva ale derivuje sa iba $v^{2}$ . tam som potom urobil chyby v druhom príspevku iba v jednoduchých matematických úkonoch.

marostul · 03. 04. 2017 21:53

Ďakujem za pomoc, nevedel som, že pre dt sa derivuje iba $v^{2}$ potom ostáva $dt=\frac{2v}{c^{2}}dv\Rightarrow dv=\frac{c^{2}}{2v}dt$ . $v$ sa vykráti a $\frac{c^{2}}{2}$ ide pred integrál. po integrácii $\frac{1}{\sqrt{t}}$ dostaneme $2\sqrt{t}dt$ . $2$ sa vykráti a dostávame želaný výsledok $c^{2}(1-\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}})$