Matematické Fórum

Ondry · 03. 04. 2017 21:01

Dobrý den,

graficky se snažím dostat na křivku 4. řádu konkrétně bicirkulární kvartiku, bohužel jsem se zasekl u cirkulární kubiky, kterou sice jsem schopen vytvořit, ale nejspíš nejsem schopen adekvátně komplexně sdružit pro další úpravy. Tak jsem zvolil jinou metodu a to odvození rovnice tohoto polynomu 4. řádu, tady jsem se zasekl ještě dřív, kdy mi nejde zjednodušit tvar rovnice kružnice v obecném tvaru podle vzoru...

Ale přesto postup je takový:

Mám vektor A, který násobím parametrem q, k tomu přičtu konstatní vektor B dostávám rovnici přímky

$p=Aq+B$

tu invertuji a dostávám rovnici kružnice k procházející počátkem

$k=\frac{1}{Aq+B}$

pro kružnici v obecném tvaru O přičtu konstantní vektor C

$O=C+k=C+\frac{1}{Aq+B}$

po úpravě

$O=\frac{CAq+CB+1}{Aq+B}$

podle zdroje je toto odvození správně, jenže on ještě tuto rovnici zjednoduší, ale já nevím jak a jsem bezradný.

rovnice kružnice v obecné poloze
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/45605_rovnice_01.PNG
zjednodušení tvaru (odstranění jedničky)

Pokud si budete vědět, rady budu velmi vděčný za pomoc.

Bati · 03. 04. 2017 23:02

Ahoj ↑ Ondry:,
mohl bys prosím vysvětlit, co znamená $\frac{1}{Aq+B}$ , popř. jen $\frac1V$ , kde $V$ je vektor? Stačí odkaz, s takovým značením jsem se ještě nesetkal.

Ondry · 03. 04. 2017 23:44 — Editoval Ondry (03. 04. 2017 23:50)

↑ Bati:

Snad obrázek bude názornější.

$A=a_{1}+a_{2}$ a B jsou vektory, V už je rovnice přímky, inverzí (v knize je uvedeno kruhovou inverí) této přímky V dostanu kružnici

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/54840_graf_01.PNG

Vektor B a A jsou čárkovaně
Vektor A násobím parametrem q (pokud je A=1+j tak pro q=2 je qA=2+2j atd.)

rovnice přímky Z=Aq+B

Tuto přímku Z komplexně sdružím a dostávám světle modrou přímku Z*
$Z=a_{1}+a_{2}$ $Z*=a_{1}-a_{2}$

Toto Z* udělám inverzní, tedy převrátím.

kruznice $\frac{1}{Z^{*}}=\frac{1}{Aq+B}$

Vycházím z literatury z roku 38 a 52, v té starší je psáno, že je to opakování deskriptivní geometrie.

Ondry · 04. 04. 2017 09:48

Jestli on tam nemá prostě chybu
Pokud položím rovnici z prního screenu rovno rovnici z druhého screenu, stejně mi zbude jedna

$O=\frac{CAq+CB+1}{Aq+B}$ $C+\frac{1}{B+Aq}=\frac{CB+CAq+1}{B+Aq}$
$\frac{CB+CAq+1}{B+Aq}=\frac{CB-(CA)q}{B-Aq}$
$CB+CAq+1=\frac{BC-(CA)q}{B-Ap}\cdot (B+Aq)$
$C(B+Aq)+1=\frac{C(B-Aq)}{B-Ap}\cdot (B+Aq)$
$C(B+Aq)+1=C(B+Aq)$

Bati · 04. 04. 2017 10:12

↑ Ondry:
Mně se právě zdá, že tam je buď chyba, nebo tam něco chybí, protože ten úplně poslední výraz v tom posledním obrázku v ↑ Ondry: je vlastně jen $C$ v tvém značení.

Jinak díky za vysvětlení, uniklo mi jen, že jsou to komplexní čísla. Nevěděl jsem, že kružnice má v C takovou pěknou reprezentaci - chvíli mi to trvalo, než jsem si ověřil, že to je kružnice a našel její střed.

Ondry · 04. 04. 2017 11:33

↑ Bati:

Až to budu řešit prakticky, tak ano budu používat komplexní čísla reálný odpor a imaginární reaktanci, ale tomu excelu je nejspíš jedno co do něj bouchám :) neberu to v potaz.

Ale ano, v úvodu do komplexních čísel se začíná převedením nekonečné přímky v $\mathbb{R}$ do kružnice v ${\mathbb{R}}^2$ nejsem matematik takže omlouvám se za případný nesprávný zápis. A v mém případě - $\infty$ a + $\infty$ se potkávají v počátku 0

Tak asi problém uzavřu, že tvar

$\frac{CB+CAq+1}{Cb+CAq}$

nejde nějak jednoduše upravit na dva členy v čitateli

Náhodou jsem právě našel článek kruhova_inverze

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2017 21:01

Odvození kružnice v obecné poloze a následné zjednodušení

#2 03. 04. 2017 23:02

Re: Odvození kružnice v obecné poloze a následné zjednodušení

#3 03. 04. 2017 23:44 — Editoval Ondry (03. 04. 2017 23:50)

Re: Odvození kružnice v obecné poloze a následné zjednodušení

#4 04. 04. 2017 09:48

Re: Odvození kružnice v obecné poloze a následné zjednodušení

#5 04. 04. 2017 10:12

Re: Odvození kružnice v obecné poloze a následné zjednodušení

#6 04. 04. 2017 11:33

Re: Odvození kružnice v obecné poloze a následné zjednodušení

Zápatí