Matematické Fórum

Franta1235 · 03. 04. 2017 22:15

Zadání: Nalezněte rovinnou křivku parametrizovanou obloukem, jejíž křivost je 1/s , s>0.

Zkoušel jsem dosadit obecné rovnice do vzorce pro křivost, ale došel jsem k soustavě diferenciálních rovnic, s kterými si nevím rady (ani Wolfram alpha). Nějaká rada jak to řešit?

Bati · 03. 04. 2017 23:19 — Editoval Bati (03. 04. 2017 23:20)

↑ Franta1235:
s je konstanta nebo parametr z parametrizace obloukem? V každém případě bude dobrý převést do polárních souřadnic.

Franta1235 · 03. 04. 2017 23:21

↑ Bati: s je parametr z parametrizace obloukem.

Bati · 03. 04. 2017 23:24

↑ Franta1235:
Takže řešíš
$x'^2+y'^2=1$
$x''^2+y''^2=\frac1{s^2}$ ,
ok?

Franta1235

Já jsem si křivku definoval jako $c(s)=[f_{1}(s),f_{2}(s),0]$ a vložil do vzorce pro křivost: $k(s)=\frac{\parallel c'(s)×c''(s)\parallel }{\parallel c'(s)\parallel^{3} }$ , a dostal jsem se k těmto rovnicím: $\frac{1}{s}=-f_{2}'f_{1}''+f_{1}'f_{2}'' , (f_{1}')^2+(f_{2}')^2=1$ , takže k tamtěm rovnicím jsem se nedostal.

Bati · 04. 04. 2017 00:15

↑ Franta1235:
No to je obecnej vzorec, ale když předpokládáš, že máš parametrizaci obloukem, tak platí $|c'|=1$ , $|c'\times c''|=|c'||c''|\sin{\alpha}=|c''|=\kappa$ , ne?

Franta1235 · 04. 04. 2017 00:24

Jo, tohle platí, díky. Ale stejně nevím, jak vyřešit tyhle už jednodušší rovnice.

Bati · 04. 04. 2017 00:33 — Editoval Bati (04. 04. 2017 00:37)

↑ Franta1235:
1) substituce $a=x'$ , $b=y'$
2) první rovnice implikuje $a(s)=\cos\varphi(s)$ , $b(s)=\sin\varphi(s)$ pro nějakou funkci $\varphi$ , přičemž můžeme předpokládat $\text{sgn}\, \varphi'=1$ , viz polární souřadnice.
3) Dosadíš do druhé a vyřešíš.

Pak už je to jenom integrování: nejprve v $\varphi'=\frac1s$ , pak $x'=\cos\log(c_1 s)$ , $y'=\sin\log(c_1s)$ , $c_1>0$ , atd.

Pozn.: ty poslední integrály se dají spočítat přes subst. $t=\log(c_1s)$ a pak 2x per partes. Doporučuju řešení psát ve tvaru $x(s)=c_2+\int_{\frac1{c_1}}^{s}\cdots$