Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
![$\lim (-1)^{n^{n!}}\sqrt[n!]{\frac{(n!)!}{n!^{n!}}}$](/mathtex/a1/a16bed597219db510a1c6c3cb0d0fa6e.gif "kopírovat do textarea")
#2 04. 04. 2017 06:43
Re: Jednoduchá limita
, který nabývá hodnoty 1 a -1 v závislosti na paritě čísla 
, se ta limita rovná 0 nebo vůbec neexistuje. Přikláním se k druhé možnosti.Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#3 04. 04. 2017 09:31 — Editoval Cynyc (04. 04. 2017 11:56)
Re: Jednoduchá limita
Offline
#4 04. 04. 2017 10:28
Re: Jednoduchá limita
![$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n!]{\frac{(n!)!}{n!^{n!}}}=\mathrm e^{-1}
$](/mathtex/e6/e6ac3b458aec3ea2ead8226150b2c292.gif "kopírovat do textarea")
, pak![$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n!]{\frac{(n!)!}{n!^{n!}}}
&=\lim_{m\to\infty} \sqrt[m]{\frac{m!}{m^m}}
=\lim_{m\to\infty} \sqrt[m]{\prod_{k=1}^m\frac km}
=\lim_{m\to\infty} \mathrm{e}^{\frac 1m\sum\limits_{k=1}^m\ln\frac km}
=\mathrm{e}^{\lim\limits_{m\to\infty}\frac 1m\sum\limits_{k=1}^m\ln\frac km}
$](/mathtex/6b/6b8d6b6b5540afa11fd7eb639616944e.gif "kopírovat do textarea")
![$
\lim_{m\to\infty}\frac 1m\sum_{k=1}^m\ln\frac km
&=\int_0^1 \ln x\,\mathrm dx=\lim_{t\to 0^+}[x\ln x-x]_t^1=-1
$](/mathtex/7f/7fa6db20f67a9df274d8b4660c9a4206.gif "kopírovat do textarea")
![$
\lim_{m\to\infty}\frac 1m\sum_{k=1}^m\ln\frac km
&=\lim_{m\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{m+1}\ln\frac k{m+1}-\sum_{k=1}^m\ln\frac km}{(m+1)-m}
=\lim_{m\to\infty}\left(\sum_{k=1}^m\ln\frac k{m+1}-\sum_{k=1}^m\ln\frac km\right)\\[.5\baselineskip]
&=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m\ln\frac m{m+1}
=\lim_{m\to\infty}\left(m\cdot\ln\frac m{m+1}\right)
=\lim_{m\to\infty}\ln\left(1-\frac 1{m+1}\right)^m\\[.5\baselineskip]
&=\ln\mathrm e^{-1}=-1
$](/mathtex/f8/f8bdebec76039aa8a1c2a073fba4e6d1.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#5 04. 04. 2017 11:07 — Editoval Cynyc (04. 04. 2017 11:58)
Re: Jednoduchá limita
![$\lim \sqrt[n]{a_n}=\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$](/mathtex/94/941e9b372b0a65c4a95b3f5f848394c6.gif "kopírovat do textarea")
, který vykládám jako součást podílového a odmocninového kritéria pro limity.Offline
#6 04. 04. 2017 12:44
Re: Jednoduchá limita
![$\lim \sqrt[n]{a_n}=\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}\,,\ a_n>0$](/mathtex/34/34ff11a499b8874c85f1ac77b0ce8141.gif "kopírovat do textarea")
obecně neplatí. Platí jen tehdy, pokud limita na pravé straně existuje. Jinak řečeno, pokud existuje limita vlevo, pak limita vpravo ještě existovat nemusí.Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#7 04. 04. 2017 16:55
Re: Jednoduchá limita
. V případě, kerý řešíme, to ovšem není problém, protože z podílové limity vyvodíme odmocninnou.Offline