Matematické Fórum

Kamča2658 · 30. 03. 2017 19:53

Zdravím, žádám o pomoc, jen o navedení na vzorec. Za případnou pomoc moc děkuji.

Verča jde ke kadeřníkovi bez objednání. Ve 10:00 dorazila ke svému kadeřníkovi a sedla si do fronty jako 4. v pořadí, přičemž zjistila, že je v kadeřnictví pouze jedna kadeřnice a
pracovní doba jí končí v 16:00. Dobu obsluhy klienta může dobře
modelovat veličinou s exponenciálním rozdělením. O kadeřnictví je navíc známo, že
průměrně trvá ostříhání 1 zákazníka 50 minut. S využitím centrální limitní věty určete přibližně pravděpodobnost, že Veronika bude ostříhána do konce pracovní doby.
Online

KennyMcCormick

Časový úsek, který nás zajímá, je 6 hodin.

Protože průměrný počet zákazníků, který je za tento úsek ostříhán, je 7,2, platí
$\lambda=7,2$ .

Zajímá nás pravděpodobnost, že budou dostříháni během příštích 6 hodin alespoň 4 zákazníci*, tj. $P(X\geq 4)$ .

Počet dostříhaných zákazníků má Poissonovo rozdělení s parametrem $\lambda$ , tj. $\text{Poisson}(\lambda)$ , centrální limitní věta nám umožní toto rozdělení aproximovat normálním rozdělením $\mathcal{N}(\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)=\mathcal{N}(\lambda,\lambda)$ .

Protože $\lambda\leq 1\:000$ , použijeme korekci na spojitost a vypočteme
$P(X\geq 4) = P\left(Y\geq 4 - \frac12\right)$ , kde Y je náhodná veličina s normálním rozdělením a parametry $\lambda$ a $\lambda$ , tj. $Y\sim \mathcal{N}(\lambda,\lambda)$ .

Naše hledaná pravděpodobnost je $P\left(Y\geq 4 - \frac12\right)$

Víš, jak dál?

*EDIT: Je jich 5, ne 4, jak si všiml ↑ Jj:, takže hledaná pravděpodobnost je $P\left(Y\geq {\color{red}5} - \frac12\right)$ . Nebo tak, jak píše ↑ Jj:. Vychází to jenom o 0,17% odlišně. :))

EDIT editu: "by měla být" => "je"

Jj · 31. 03. 2017 10:36

Zdravím ↑ KennyMcCormick:, ↑ Kamča2658:

Možná trochu zjednodušit, případně upřesnit:

1)
Má-li náhodná veličina
- střední hodnotu $_{\mu}$ a rozptyl $D$

pak součet 'k' těchto náhodných veličin bude mít obecně
- střední hodnotu $\mu_k =k\cdot \mu$ a rozptyl $D_k = k \cdot D$ (aby vztah platil u rozptylu, musí být náhodné veličiny nezávislé).

--> pro součet k uvedených exponenciálně rozložených dob obsluhy bude
$\mu_k=k\cdot \frac{5}{6}, \quad \sigma_k=\sqrt{k} \cdot \frac{5}{6}$

2)
Otázka počtu zákaznic v kadeřnictví:

Řekl bych, že kromě čtyř sedících ve frontě je ještě jedna právě obsluhována --> k = 5 (v zadání to nějak specifikováno není, ale v teorii obsluhy se rozlišují zákazníci ve frontě a zákazníci v aparátu obsluhy).

Ať už se použije k = 4 nebo k = 5 platí pro součtové parametry $\mu, \, \sigma$ vztahy uvedené v odstavci 1), protože doba do konce obsluhy "rozpracované" zákaznice má stejné rozložení jako u zákaznic ve frontě (=zvláštnost exponenciálního rozložení). Takže uvedené součtové parametry je možno použít pro aproximační normální rozložení.

KennyMcCormick

Díky... stačí nahradit 4 zákazníky za 5, je to tak?

EDIT: Určitě ano.

EDIT: Jistě ano.

Jj · 31. 03. 2017 16:29 — Editoval Jj (31. 03. 2017 16:32)

↑ KennyMcCormick:

Předpokládám, že ne. Řekl bych, že čas (T_k) na obsloužení alespoň 'k' zákaznic bude mít toto rozložení pravděpodobnosti:

$P(T_k \le t) = \sum_{i = k}^{\infty} \frac{(\lambda t)^i \, e^{-\lambda t}}{i!} = 1-e^{-\lambda t}\sum_{0}^{k-1} \frac{(\lambda t)^i}{i!}$ , což pro $\lambda = 1.2, \quad k = 5$ dá $P(T_5 \le 6) \doteq 0.844$

Jedná se o známé tzv. Erlangovo rozložení. Jeho

- střední hodnota je $\mu = \frac{k}{\lambda} = \frac{5}{1.2}=\frac{25}{6}$
- směrodatná odchylka $\sigma = \frac{\sqrt{k}}{\lambda}=\frac{5\sqrt{5}}{6}$

A tyto hodnoty (které odpovídají hodnotám určeným v #3 výše), je možno použít pro aproximační normální rozložení $N(\mu, \sigma^2)$ .

Podle Excelu pravděpodobnost při použití uvedené aproximace vyjde takto: $P = F(6) - F(0) = 0.825$ , což je blízko přesné hodnoty.

Hodnoty zjištěné z užití čistě Poissonova rozložení tudíž nepovažuji za použitelné.

KennyMcCormick · 31. 03. 2017 19:18

Předpokládám, že ne. Řekl bych, že čas (T_k) na obsloužení alespoň 'k' zákaznic bude mít toto rozložení pravděpodobnosti:

$P(T_k \le t) = \sum_{i = k}^{\infty} \frac{(\lambda t)^i \, e^{-\lambda t}}{i!} = 1-e^{-\lambda t}\sum_{0}^{k-1} \frac{(\lambda t)^i}{i!}$

Je to tak :). Exponenciálně distribuované časy oddělují události s Poissonovým rozdělením, takže pravděpodobnost, že alespoň $k$ zákazníků bude obslouženo za čas $t$ je stejná při výpočtu Erlangovým i Poissonovým rozdělením. :)

(Při výpočtu Poissonovým rozdělením je parametr $\lambda$ t-krát větší, takže výsledkem je tentýž vzorec.)

Vaše řešení je ale přehlednější, protože já jsem nevysvětlil, proč centrální limitní věta aproximuje $\text{Poisson}(\lambda)\approx\mathcal{N}(\lambda,\lambda)$ .

Avokado

Dotaz, nestaci pouzit Lindeberg-Levy CLV ?

Nech Z je nahodna velicina udavajuca kolko hodin bude trvat ostrihanie 5ludi.
Taka ze $Z = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} X_{i}$
$EZ = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} EX_{i}= \frac{1}{5}\frac{5}{\lambda }$
$DZ = \frac{1}{5^{2}}\sum_{i=1}^{5} DX_{i}= \frac{1}{5^{2}}\frac{5}{\lambda^{2} }$

$P(Z \le 6) = P (\frac{Z-\frac{1}{\lambda }}{\sqrt{\frac{1}{\lambda ^{2}*5}}} \le \frac{6-\frac{1}{\lambda }}{\sqrt{\frac{1}{\lambda ^{2}*5}}})$

problem je ze to z toho nedokazem dostat

Kamča2658

↑ KennyMcCormick: Dobrý večer, proč dáváte 1/5 když lambda=7,2. Nechápu co na jaké pozice dosazujete do toho vzorce. Děkuji za odpověď

KennyMcCormick

↑ Avokado:

Dotaz, nestaci pouzit Lindeberg-Levy CLV ?

Nevím. (EDIT: Ano.)

Co je v tvém komentáři $X_i$ a $\lambda$ ?

EDIT: Už jsem to pochopil, Lindebergovu-Lévyho CLV použít můžeme, ale tvá očekávaná hodnota a rozptyl mají být jinak:
$EZ = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} EX_{i}= \frac{1}{5}{\color{red}\sum_{i=1}^5}\frac{5}{\lambda }$

$DZ = \frac{1}{5^{2}}\sum_{i=1}^{5} DX_{i}= \frac{1}{5^{2}}{\color{red}\sum_{i=1}^5}\frac{{\color{red}2}5}{\lambda^{2} }$

Když to spočítáš správně, je to ekvivalentní tomu, co jsem napsal já a ↑ Jj:.

EDIT: Lindebergovu-Lévyho CLV použít můžeme, tvůj nápad ji však nepoužívá. :) Ale když správně spočítáš $EZ$ a $DZ$ , dostaneš správný výsledek.

↑ Kamča2658:

proč dáváte 1/5

Myslíš 1/2, nebo odpovídáš na ↑ Avokado:? :)

Avokado

↑ KennyMcCormick:
$X_{i}$ n.v. udavajuca dobu strihania i-tej osoby

suhlasim, ze po tvojej uprave DZ a EZ to sedi.

$Z = X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}$
$E(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}) = EX_{1}+EX_{2}+EX_{3}+EX_{4}+EX_{5} = EZ$
tak isto aj DZ, potom sedi tvoja oprava. Nasledne sa to standardizuje a dostanem potom co som chcel, iste.

Ako to napasovat na Lin.-Levyho ?

Kamča2658 · 03. 04. 2017 18:40

↑ KennyMcCormick: Omlouvám se, myslím 1/2

KennyMcCormick

↑ Avokado:

$X_{i}$ n.v. udavajuca dobu strihania i-tej osoby

V tvém předchozím komentáři to byl pětinásobek doby ostříhání i-té osoby. :) Ale může to být i doba stříhání i-té osoby - náhodná proměnná $Z$ bude tatáž.

potom sedi tvoja oprava

Moje oprava seděla i předtím. :)

Ako to napasovat na Lin.-Levyho ?

Náhodná proměnná $Z$ vznikla součtem $n=5$ i.i.d. náhodných proměnných s $EX_i=\frac1\lambda$ a $DX_i=\frac1{\lambda^2}$ . L.-L. CLV říká, že
$\lim_{n\rightarrow\infty}Pr[\sqrt{n}(S_n-\mu)\leq z]=\Phi\left(\frac{z}\sigma\right)$ .
My aproximujeme, takže pro nás $n=5$ . $\mu=EX_i$ a $\sigma=\sqrt{DX_i}$ . $S_n$ je průměrná doba ostříhání jednoho zákazníka, tj. $\frac15{Z}$ .

Tedy
$Pr\left[\sqrt{5}\left(\frac15 Z-EX_i\right)\leq z\right]=\Phi\left(\frac{z}{\sqrt{DX_i}}\right)$ .

Zajímá nás pravděpodobnost, že $Z\leq6$ , tedy pravděpodobnost, že
$\sqrt{5}\left(\frac15 Z-EX_i\right)\leq\overbrace{\sqrt{5}\left(\frac15 \cdot6-EX_i\right)}^{z}$ , tj. $z=\sqrt{5}\left(\frac15 \cdot6-\frac1\lambda\right)=\frac{11\sqrt5}{30}$

Víš, jak dál?

↑ Kamča2658:

myslím 1/2

To je korekce na spojitost. Pokud si označím $X$ jako proměnnou s Poissonovým rozdělením a $Y$ jako proměnnou s normálním rozdělením, kterým toto Poissonovo rozdělení aproximuju, platí pro Poissonovo rozdělení $P(X<x)=P(X\leq x-1)$ , protože Poissonovo rozdělení je diskrétní.

Normální rozdělení je ale spojité, tam tedy platí $P(Y<x)=P(Y\leq x)$ . Proto se při aproximaci diskrétním rozdělením používá korekce na spojitost, a píšeme $P(X\leq x)\approx P\left(Y\leq x+\frac12\right)$ , protože tím dosáhneme přesnějšího výsledku.

(A logicky, pro $\geq$ píšeme $P(X\geq x)\approx P\left(Y\geq x-\frac12\right)$ .)

↑ Kamča2658:

Nechápu co na jaké pozice dosazujete do toho vzorce.

Jestli myslíš vzorec
$P(X\geq 4) = P\left(Y\geq 4 - \frac12\right)$ , tak ten měl být
$P(X\geq 5) = P\left(Y\geq 5 - \frac12\right)$ .
$X$ je náhodná proměnná s Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda$ a $Y$ je náhodná proměnná s normálním rozdělením s parametry $\mu=\lambda$ , $\sigma^2=\lambda$ .

Jestli to není jasné, použij řešení od ↑ Jj:, které je mnohem přehlednější.

Víš, jak dál?

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2017 19:53

Centrální limitní věta

#2 31. 03. 2017 09:04 — Editoval KennyMcCormick (31. 03. 2017 20:01)

Re: Centrální limitní věta

#3 31. 03. 2017 10:36

Re: Centrální limitní věta

#4 31. 03. 2017 11:00 — Editoval KennyMcCormick (31. 03. 2017 20:01)

Re: Centrální limitní věta

#5 31. 03. 2017 16:29 — Editoval Jj (31. 03. 2017 16:32)

Re: Centrální limitní věta

#6 31. 03. 2017 19:18

Re: Centrální limitní věta

#7 02. 04. 2017 15:58 — Editoval Avokado (02. 04. 2017 17:19)

Re: Centrální limitní věta

#8 02. 04. 2017 19:23 — Editoval Kamča2658 (02. 04. 2017 19:26)

Re: Centrální limitní věta

#9 03. 04. 2017 08:43 — Editoval KennyMcCormick (03. 04. 2017 11:40)

Re: Centrální limitní věta

#10 03. 04. 2017 15:27 — Editoval Avokado (03. 04. 2017 15:31)

Re: Centrální limitní věta

#11 03. 04. 2017 18:40

Re: Centrální limitní věta

#12 04. 04. 2017 12:07 — Editoval KennyMcCormick (04. 04. 2017 12:11)

Re: Centrální limitní věta

Zápatí