Matematické Fórum

green19

Ahoj, nevie mi niekto poradit preco platia rovnosti: $\frac{1}{2}\lim_{k\to\infty }\int_{nk}^{mk}f(x)dx=\lim_{k\to\infty }\frac{1}{2}\int_{2nk-1}^{2mk-1}f(x)dx=\lim_{k\to\infty }\int_{nk}^{mk}f(2x-1)dx$ ?
Takze by platilo aj :
$\frac{1}{2}\lim_{k\to\infty }\int_{nk}^{mk}f(x)dx=\lim_{k\to\infty }\frac{1}{2}\int_{2nk}^{2mk}f(x)dx=\lim_{k\to\infty }\int_{nk}^{mk}f(2x)dx$ ? M,n su kladne cisla, m>n. f je monotonna klesajuca spojita funkcia.

Cynyc · 03. 04. 2017 22:17 — Editoval Cynyc (03. 04. 2017 23:04)

Platnost rovností v druhém řádku je jednoduchá. První je vlastnost limit - pokud jsou to limity posloupností, je druhá vybraná z první (je to druhý, čtvrtý, šestý atd. člen první posloupnosti), pokud limity funkcí, vznikne druhá z první substitucí k=2k'. Druhá rovnost je obyčejná substituce v integrálech, y=2x.

Stejně tak plyne ze substituce i druhá rovnost na prvním řádku. Nejobtížnější je první rovnost. V první řadě, protože f je klesající, má limitu k nekonečnu. Je-li tato limita jiná než nula, jsou všechny integrály nekonečné (je-li $\lim_{x\to\infty} f(x)=L$ , je pro dostatečně velká a, b $\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d}x\right|>(b-a)|L|/2$ ) a všechny limity pak podle definice buď nemají smysl, nebo jsou také nekonečné. Je-li $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ , dá se jít přes rovnosti na druhém řádku: $\int_{2nk-1}^{2mk-1}f(x)\mathrm{d}x=\int_{2nk-1}^{2nk}f(x)\mathrm{d}x+\int_{2nk}^{2mk}f(x)\mathrm{d}x-\int_{2mk-1}^{2mk}f(x)\mathrm{d}x$ . První a poslední integrál vpravo jdou k nule, protože jsou to integrály na intervalech délky jedna z funkce jdoucí k nule.

green19 · 05. 04. 2017 11:29

↑ Cynyc: preco sa nemoze dokazat prva rovnost v prvom riadku tiez cez vybranu podpostupnost? Ze vybteram kazdy neparny clen?

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2017 15:28 — Editoval green19 (03. 04. 2017 15:29)

Hranice urciteho integralu

#2 03. 04. 2017 22:17 — Editoval Cynyc (03. 04. 2017 23:04)

Re: Hranice urciteho integralu

#3 05. 04. 2017 11:29

Re: Hranice urciteho integralu

Zápatí