Matematické Fórum

↑ gigo: Nejspíš to jde nějak elegantně, třeba pomocí principu inkluze a exkluze, já popíšu pracnou, ale univerzální metodu. Všechna sjednocení, průniky i rozdíly čtyř množin lze zapsat jako sjednocení patnácti disjunktních "průnikových atomů", které lze popsat (ne)náležením do jednotlivých množin A, B, C, D. Například je sjednocení množiny všech prvků, které patří do A, B, C a nepatří do D, a množiny prvků, které patří do A, B,C i D. Takových množin je patnáct, protože pro náležení do každé množiny máme dvě možnosti (2^4) a můžeme vyloučit případ množiny, do které nepatří prvky žádné z množin A, B, C, D.

Levou i pravou stranu nerovnice lze tedy rozepsat na součet a rozdíl počtu prvků průnikových atomů. Nerovnost pak obecně platí právě tehdy, když je (v tomto případě) na levé straně počet každého z atomů vetší nebo roven straně pravé - jinak lze vždy zkonstruovat takové množiny A, B, C, D, že počet prvků atomu, kterého je na pravé straně více, převýší souhrný počet prvků na straně levé.

Prakticky lze tento postup realizovat buď rozepsáním na atomy (třeba atd.), což by ovšem v tomto případě bylo značně pracné, protože sjednocení všech množin na pravé straně obsahuje všech patnáct atomů, nebo použít tabulku známou z vyhodnocování pravdivosti formulí výrokového počtu, s tím, že místo pravdivostních hodnot budeme zapisovat, kolikrát jsou jednotlivé atomy přítomny v daném výrazu resp. na dané straně rovnice. Následující tabulka se mi v náhledu příspěvku odmítá zobrazovat, ale korektně se zobrazuje v LaTeXovém editoru, takže dejte Reagovat a zkopírujte ji do toho malého okénka vpravo:

Stýv: je třeba použít $$$ místo $



Sloupec úplně vpravo znamená, že pokud převedeme v nerovnici všechno doleva, bude tam dohromady jednou počet prvků z každé z množin A, B, C, D, který není v žádné jiné množině, plus dvakrát velikost průniku všech čtyř množin. To nám zároveň říká, za jaké situace bude platit rovnost (když tyto množiny budou prázdné).

V tomto případě lze ve skutečnosti tabulku výrazně zkrátit. Protože je zadání invariantní vůči záměně proměnných (když provedete jakoukoli permutaci proměnných, dostanete totéž), stačí čtyři řádky, např. 0001, 0011, 0111, 1111, protože pro stejný počet jedniček musí vždy vyjít stejný výsledek.

↑ check_drummer: Sloupce vlevo znamenají charakterizují jednotlivé atomy - třeba 1010 je atom, ve kterém jsou právě ty prvky, které jsou v množině A a v množině C a nejsou v množině B a množině D. Tabulka pro nerovnost |A|<=|B| je


Sloupec L-P není nekladný, nerovnost tedy neplatí. Tabulka nám navíc říká, že vlevo jsou navíc ty prvky A, které nejsou v B (jednička pro atom 10) a vpravo prvky B, které nejsou v A (-1 pro atom 01). Nerovnost tedy nebude splněna právě tehdy, bude-li prvních více než druhých, nebo-li je-li |A\B|>|B\A|.

Je ale zřejmé, že se mi metodu nepodařilo dobře vysvětlit, protože její správnost je jinak zjevná.

↑ check_drummer: Jak jsem psal výše, ta tabulka je jen zjednodušený zápis. Vždy lze rozepsat an atomy původní (ne)rovnici (třeba ta Vaše by vypadala ) i dodatečné podmínky (ta, kterou uvádíte, je zrovna velikost jednoho atomu, takže by zůstala, jak je) a řešit soustavu.

↑ gigo:
Spíš se A rozpadne na části, které patří nebo nepatří do B,C,D - tj. A se rozpadne na celkem 8 částí.

↑ gigo: Jasně, to je přesně to, co vyšlo v té tabulce - sloupce L a P.

↑ Cynyc:
Dobroš :)
Děkuji