Matematické Fórum

souko · 05. 04. 2017 23:13

Ahoj,
úkolem je dokázat, že pro libovolné přirozené n je $37^{n+2}+16^{n+1}+23^{n}$ dělitelné 7mi.
Zkoušel jsem to rozkládat všelijak, ale prostě furt mě nenapadá, co s tim, abych obecně dokázal, že to platí.

Prosím, jestli by někoho napadlo co s tím.

Díky

Jj · 06. 04. 2017 05:09

↑ souko:

Zdravím.

Řekl bych, že se dělitelnost výrazu ukáže po úpravě

$37^{n+2}+16^{n+1}+23^{n}=(35+2)^{n+2}+(14+2)^{n+1}+(21+2)^{n}$

a umocnění uvedených dvojčlenů podle binomické věty.

vanok · 06. 04. 2017 08:19 — Editoval vanok (06. 04. 2017 12:40)

Ahoj ↑ souko:,
Alebo este mozes pracovat mod 7
Tvoj vyraz da tak
$2^{n+2}+2^{n+1}+2^n =7*2^n=0, \mod 7$
(Pozor: treba vsetko vysvetlit a doplnit vsetki etapy dokazu !)

souko · 06. 04. 2017 13:13

Děkuji moc, už to mám. Nakonec jsem to dělal postupově dobře jen jsem furt násobil dvojku na 2,4,6 a ne 2,4,8. Tak ještě jednou díky.

check_drummer · 06. 04. 2017 21:58

Ahoj, ještě pro úplnost přidám důkaz indukcí. Takové se zpravidla uvádějí ve cvičeních na indukci pro SŠ.
indukční krok:
$37^{n+3}+16^{n+2}+23^{n+1}=37.37^{n+2}+16.16^{n+1}+23.23^{n}=(35+2).37^{n+2}+(14+2).16^{n+1}+(21+2).23^{n}=$
$=(35.37^{n+2}+14.16^{n+1}+21.23^{n})+2.(37^{n+2}+16^{n+1}+23^{n})$
kde první závorka je dělitelná 7, protože každý její člen je dělitelný 7 a druhá závorka je dělitelná 7 na základě indukčního předpokladu.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2017 23:13

Důkaz dělitelnosti 7mi

#2 06. 04. 2017 05:09

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

#3 06. 04. 2017 08:19 — Editoval vanok (06. 04. 2017 12:40)

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

#4 06. 04. 2017 13:13

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

#5 06. 04. 2017 21:58

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

Zápatí