Matematické Fórum

Jakub1 · 07. 04. 2017 00:18

Dobrý deň, mám za úlohu dokázať nasledovnú vetu:

"Nech $F(y) = \int_{\Omega} f(x,y) \ dx$ je parametrický integrál definovaný na okolí $\mathcal{O}(y_0)$ bodu $y_0$ . Predpokladajme, že:

1.) $y \longmapsto f(x,y)$ je spojitá na $\mathcal{O}(y_0)$ pre každé $x\in \Omega$ ,
2.) existuje integrovateľná funkcia $g : \Omega \to \mathbb{R}$ , t. j. $\int_{\Omega} g(x) \ dx < \infty$ a $\left|f(x,y)\right| \leq g(x)$ , pre každé $x\in \Omega$ , $y\in \mathcal{O}(y_0)$ .

Potom parametrický integrál $F(y) = \int_{\Omega} f(x,y) \ dx$ je spojitá funkcia na okolí $\mathcal{O}(y_0)$ bodu $y_0$ ."

Môj návrh na dôkaz je ukázať, že F je lipchitzovská. Spravil by som to takto: vieme z bodu 1.):
$L \geq \frac{|f(x,y)-f(x,\widetilde{y})|}{\left\|y - \widetilde{y} \right\|}$

Tento výraz môžeme zintegrovať (obe strany rovnice) $\int_{\Omega} ... \ dx$ a:
$\int_{\Omega} L \ dx = |\Omega|L \geq \frac{\int_{\Omega} |f(x,y)-f(x,\widetilde{y})| dx}{\left\|y - \widetilde{y} \right\|}$

Použijeme nerovnosť: $\left| \int_{\Omega} f(x,y) \ dx \right| \leq \int_{\Omega} |f(x,y)| \ dx$ a dostanem:
$\frac{|F(y)-F(\widetilde{y})|}{\left\|y - \widetilde{y} \right\|} <|\Omega| L$

Problém však je, že som nikde nevyužil bod 2.) Prečo je potom uvedený v podmienkach vety? Mohol by sa mi niekto, prosím, pozrieť na tento dôkaz a navigovať ma? Ďakujem.

Bati · 07. 04. 2017 00:52

Ahoj ↑ Jakub1:,
3 věci:

1) je jen spojitost, ne lipschitzovskost.

Co když $|\Omega|=\infty$ ?

2) se hodí k použití Lebesgueovy věty o konvergenci s majorantou.

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2017 00:18

Spojitosť parametrického integrálu

#2 07. 04. 2017 00:52

Re: Spojitosť parametrického integrálu

Zápatí