Matematické Fórum

DJmanasek · 11. 05. 2009 17:23

Ahoj lidi, mám takový problém, máme zadaný příklad, kdy máme pomocí grafu a integrálů odvodit vzorec pro objem koule tj. \frac{4}{3}\pi r^3

ttopi · 11. 05. 2009 17:32 — Editoval ttopi (11. 05. 2009 17:33)

Já to teď na praxi odvodil podle Archimeda a moc se to líbilo :-)

Protože archimedes přišel na to, že když do plného válce vody o výšce 2r a poloměru podstavy r vložíme kouli o poloměru r, vyteče nám 2/3 obsahu vody a tedy, že poměr objemu koule ku objemu válci se rovná $2:3$ . Pak tedy vemu vzorec pro objem tohoto válce, který je $V=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$ a vynásobím ho $\frac23$ a dostávám objem koule $V=\frac43 \pi r^3$ :-))

svatý halogan · 11. 05. 2009 18:06

Mějme rovnici kružnice:

$x^2 + y^2 = r^2$

Vyjádříme si y^2 jako $y^2 = r^2 - x^2$

A použijeme vzorec pro výpočet objemu obrazce, který rotujeme kolem osy x. Budeme integroval od nuly do r - tí získáme polokouli. Poté vynásobíme dvěma a máme hotovo.

$V = 2\pi \int^r_0 r^2 - x^2 \, dx$

Vyjde to pěkně (a správně :)

lukaszh · 11. 05. 2009 22:35

↑ ttopi:
Tak toto som ešte nepočul, ale veľmi sa mi to páči :-D Ten Archimedes bol fakt hlavička, a my sa tu oháňame nejakým zložitým kalkulom ;-)

ttopi · 12. 05. 2009 06:58

↑ lukaszh:
Mě se to také líbí. Obecně platí, že poměr válce:koule:kuželi je $3:2:1$ za předpokladu, že kužel i válec mají stejnou výšku a poloměr podstavy a koule má stejný poloměr jako podstava válce a výška všech 3 těles je 2r. Takže i pro kužel z toho odvodíš krásně vzorce :-)

To samé platí pro povrch, ale tam se to nedá ukázat s vodou, tam je to horší :-)

Vypadá to nějak takto

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2009 17:23

Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

#2 11. 05. 2009 17:32 — Editoval ttopi (11. 05. 2009 17:33)

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

#3 11. 05. 2009 18:06

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

#4 11. 05. 2009 22:35

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

#5 12. 05. 2009 06:58

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

Zápatí