Matematické Fórum

Owe · 07. 03. 2017 15:50

Ahoj, potřeboval bych poradit a nalézt nějakou fajnovou množinu pomocí níž bych vyvrátil existenci následujícího typu limit (protože lehký lineární vtípek $y=k(x+a)$ nepomáhá // $k,a\in R$ ):
Jedná se o funkce typu $f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$ respektive $f(x,y)=\frac{x^{4}+y^{4}} {x^{2}+y^{2}}$ //očekávám typově stejnou množinu
a tedy limitu $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).$
Moc děkuji :)

Rumburak

↑ Owe:

Ahoj.

Zkus u funkce $f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$ provést substituci do polárních souřadnic.
Zde by ovšem stačilo uvědomit si, jak vypadá průnik libovolného okolí bodu [0, 0]
s definičním oborem funkce $f$ .

Owe · 07. 03. 2017 16:39

Ahoj díky za odpověď:
Tedy do polárních souřadnic dostanu
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}= \lim_{(r,\varphi )\to(0,\frac{k3\pi }{4})}\frac{r}{\cos \varphi +\sin \varphi }$ a dál co s tím? Mohu označit spodek jednoduše jako $k\cdot r$ (v podstatě zvolit takovou množinu čímž už jsem v podsatě v cíli - moc mi to ok nepřijde)? Nebo je možné zde použít parciálních limit?
Tedy $\lim_{r\to0}\lim_{\varphi \to\frac{k3\pi }{4}}\frac{r}{\cos \varphi +\sin \varphi }\not = \lim_{\varphi \to\frac{k3\pi }{4}}\lim_{r\to0}\frac{r}{\cos \varphi +\sin \varphi }$ ?
Popřípadě, jak mám vysvětlit resp. na co se odkázat, že když je průnik definičního oboru funkce a okolí bodu, do nějž jde limita, prázdná množina, že limita neexistuje?
Děkuji :)

Rumburak

↑ Owe:

Ten přepis limity do polárních souřadnic měl být správně

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}= \lim_{r \to 0_+}\frac{r}{\cos \varphi +\sin \varphi }$ ,

pokud limita vpravo existuje pro každou hodnotu pol. souř. $\varphi$ (která v této limitě hraje již jen úlohu
parametru), a to stejnoměrně vzhledem k této proměnné. Je tomu tak proto, že je-li $P$ bod roviny
vyjádřený v kartéských souřadnicích $x, y$ , pak jeho kruhové okolí vyjádřené v polárních souřadnicích
$r, \varphi$ závisí pouze na poloměru $r$ a nikoliv již na úhlu $\varphi$ .
Ale stejnoměrností příslušné limity se ani zabývat nemusíme, neboť je zřejmé, že pro některé hodnoty $\varphi$
tato limita nebude existovat vůbec, a sice z příčin velmi triviálních. Pro které ?

Doplním jen, že nutnou podmínkou pro existenci limity funkce v určitém bodě je, aby existovalo redukované
okolí tohoto bodu, které celé je částí definičního oboru oné funkce. Je tomu tak v naší úloze ?

jarrro · 08. 03. 2017 14:46

Rumburak napsal(a):
nutnou podmínkou pro existenci limity funkce v určitém bodě je, aby existovalo redukované
okolí tohoto bodu, které celé je částí definičního oboru oné funkce

Ahoj nestačí pre zmysel iba hustota časti Df v nejakom okolí? lebo tak ako píšeš by napríklad limita
$\lim_{$x, y$\to\left(0, 0\right)}{\frac{x+y}{x+y}}$ tiež nemala zmysel

vanok · 08. 03. 2017 17:11 — Editoval vanok (08. 03. 2017 17:36)

Poznamka.
Co sa tyka druhej limity.
Da sa vyuzit, ze $x^4+y^4 \leq \frac 32 (x^2+y^2)^2$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Co sa tyka prvej limity, moze byt uzitocne konstatovat, ze $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 09. 03. 2017 13:28

Treba aj dokazy?

Rumburak

↑ jarrro:

Ahoj. Já znam definici limity funkce v daném bodě (bez dalších upřesnění) tak, že se v ní
předpokládá definovanost funkce na nějakém celém prstencovém okolí daného bodu.
Tvůj příklad jsme nazývali relativní limitou vzhledem k množině

$M := \{[x, y] \in \mathbb{R}^2 : x + y \ne 0 \}$

a používali jsme označení

$\lim_{[x, y] \in M , [x, y] \to [0, 0]}{\frac{x+y}{x+y}}$ resp. $\lim_{x + y \ne 0, [x, y] \to [0, 0]}{\frac{x+y}{x+y}}$

(limitovací podmínku jsme většinou rozepisovali do dvou řádků, což v TeXu neumím)

a podobně. Ale připouštím, že je tomu už pár let, během nichž se přístup k pojmům mohl
změnit.

vanok · 10. 03. 2017 11:47 — Editoval vanok (10. 03. 2017 12:33)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pozdravujem,
Ako sa zda prve cvicenia nie je ukoncene.
Tak dam tu naznacim moje riesenie, ktore by malo byt kazdemu jasne vdaka ↑ vanok:
$f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}=\frac{(x+y)^2-2xy}{ x+y}= x+y-2\frac{xy}{x+y}$
Jediny problem moze byt len z $g(x,y)=\frac{xy}{x+y}$ , no vsak pre $x \neq 0, g(x,- x+x^3)$ nema realnu limitu v okoli $x=0$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Staci?

Tu sa tiez o tom pise
http://math.stackexchange.com/questions … ist-at-0-0

Pritt · 09. 04. 2017 18:20

↑ vanok:

Zdravím ostatní, ale mám dotaz k příspěvku od vanok.

Z jakého důvodu jsou v odhadu ony $\frac{3}{2}$ ?

Pokud bychom šli z definice, tak:

$\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \leq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2} = x^2+y^2 < \delta^2 \overset{!}{<} \varepsilon$ .

Kde tedy pro upřesnění:

$\lim_{\vec{x} \to \vec{a}}f(\vec{x}) = c \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{x} \in U^*_\delta(\vec{a}) \cap D(f) \Rightarrow |f(\vec{x}) - c| < \varepsilon$

Tedy nejsou potřeba.

vanok · 09. 04. 2017 19:59 — Editoval vanok (09. 04. 2017 20:08)

Ahoj
Mozes pouzit akukolkek platnu nerovnost.
(Pokial je pouzitelna v tvojom dokaze. )
A vies ako som k nemu dosiel?

Cynyc · 13. 04. 2017 01:54 — Editoval Cynyc (13. 04. 2017 10:16)

↑ Pritt: V tomto případě na je rozdíl do první úlohy funkce definována v každém prstencovém okolí počátku a limita tedy existuje podle obou běžných definic, takže upřesnění celkem není potřeba. Pokud už ale má být upřesněním, nemělo by se zapomínat na podmínku, aby vektor $\vec{a}$ byl hromadným bodem definičního oboru $f$ .

Pritt · 04. 08. 2017 11:15

↑ vanok:

Sice je to už dávno, ale zajímalo by mě, vanok, jak jsi se dostal k tomu odhadu...

vanok · 04. 08. 2017 14:54 — Editoval vanok (04. 08. 2017 16:02)

Ahoj ↑ Pritt:,
Tu konstantu $\frac{3}{2}$ v $x^4+y^4 \leq \frac 32 (x^2+y^2)^2$ som vybral, lebo je velmi rychle dokazat, ze $x^4+y^4 \leq \frac 32 (x^2+y^2)^2$
Co je ekvivalentne z $2(x^4+y^4) \leq 3 (x^2+y^2)^2$
A aj z $0 \leq x^4+3x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2+2x^2y^2$
Kde posledny vyrok je trivialny.

Inac pochopitelne v nasom pripade je mozne vybrat lubovolnu konstantu A taku ze $x^4+y^4 \leq A (x^2+y^2)^2$ ... napr aj Inf A .....
Co umozni pouzit znamu postatujucu podmienku o limitach....

Podobny trik som pouzil aj tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=97829 kde vyber x nebol jedinny...

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2017 15:50

Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#2 07. 03. 2017 15:57 — Editoval Rumburak (08. 03. 2017 13:14)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#3 07. 03. 2017 16:39

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#4 08. 03. 2017 11:09 — Editoval Rumburak (08. 03. 2017 13:37)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#5 08. 03. 2017 14:46

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

Rumburak napsal(a):

#6 08. 03. 2017 17:11 — Editoval vanok (08. 03. 2017 17:36)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#7 09. 03. 2017 13:28

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#8 10. 03. 2017 10:33 — Editoval Rumburak (10. 03. 2017 14:01)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#9 10. 03. 2017 11:47 — Editoval vanok (10. 03. 2017 12:33)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#10 09. 04. 2017 18:20

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#11 09. 04. 2017 19:59 — Editoval vanok (09. 04. 2017 20:08)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#12 13. 04. 2017 01:54 — Editoval Cynyc (13. 04. 2017 10:16)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#13 04. 08. 2017 11:15

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

#14 04. 08. 2017 14:54 — Editoval vanok (04. 08. 2017 16:02)

Re: Vyvrácení existence limity funkce o více proměnných

Zápatí