Matematické Fórum

DanDan · 11. 04. 2017 22:39

Ahoj, mám jednu opravdu triviální otázku, ale když mám rovnici s divergencemi, že $div\vec{E}=div(\vec{r}rB)$ , pak to div můžu jednoduše škrtnout a mám rovnou $\vec{E}=(\vec{r}rB)$ ? :D Díky

Rumburak · 12. 04. 2017 11:22

↑ DanDan:
Ahoj.
Zkus se zabývat divergencí konstantního vektorového pole a příjdeš na to.

Bati · 12. 04. 2017 11:40 — Editoval Bati (12. 04. 2017 11:41)

Ahoj.

↑ Rumburak: Tím dostane dost neúplnou odpověď.

↑ DanDan: Ve skutečnosti (díky linearitě tvojí rovnice) tě zajímá, kolik řešení má rovnice $\text{div}\,v=0$ . Takovým funkcím $v$ se říká solenoidální. Je lehké ukázat, že každé vektorové pole, které lze napsat jako $\text{rot}\,v=\nabla\times v$ je solenoidální. K tomu, abys dokázal, že řešením jsou právě tyhle vektory a žádné další, musíš použít Helmholtzův rozklad (taky v tom odkazu) a specifikovat okrajové podmínky - uvědom si, že to je PDR a dost záleží na tom, jestli to děláš v $\mathbb{R}^3$ , nebo na nějaké poměrně obecné množině.

Takže ta otázka není až tak jednoduchá a rozhodně to nejde vyřešit jako v 1D stylem $f'=g'\Rightarrow f=g+c$ , protože ve více dimenzích je tohle jen trivální řešení.

Rumburak

↑ Bati:
Ahoj.
Máš pravdu, že moje odpověď nebyla po teoretické stránce vyčerpávající. Šlo mi ale jen
o to dát nápovědu na přímý dotaz, zda lze v rovnici

(1) $\text{div}\vec{E}=\text{div}(\vec{r}rB)$

operátorem divergence "krátit", neboli zda je tento operátor injektivní. Vzhledem k tomu,
že jde o lineární operátor, závisí jeho injektivita na tom, zda má "nulové jádro", jak známo
z lineární algebry. Příklad nenulového konstantního vektorového pole ukazuje, že jádro
operátoru divergence je "nenulové", proto tento operátor prostý není a tudíž jím uvedenou
rovnici krátit nelze . Z rovnice (1) plyne pouze, jak jsi uvedl,

$\vec{E}=\vec{r}rB + \vec{h}$ ,

kde $\vec{h}$ je libovolné vektorové pole (v uvažované oblasti), které tam splňuje podmínku
$\text{div} \vec{h} = 0$ , při čemž $\vec{h}$ může být i nenulové, jak plyne z příkladu, který jsem navrhl
k prozkoumání.

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2017 22:39

Divergence

#2 12. 04. 2017 11:22

Re: Divergence

#3 12. 04. 2017 11:40 — Editoval Bati (12. 04. 2017 11:41)

Re: Divergence

#4 15. 04. 2017 15:05 — Editoval Rumburak (15. 04. 2017 15:35)

Re: Divergence

Zápatí