Matematické Fórum

green19 · 14. 04. 2017 09:30

Ahoj, neviete mi poradit s limitou $\lim_{n\to\infty }[\sum_{m=1}^{n}\frac{\pi}{2n\sin\frac{m\pi}{2n} }-\frac{1}{m}]$ vdaka.

Cynyc · 14. 04. 2017 21:17 — Editoval Cynyc (15. 04. 2017 08:58)

.

green19 · 15. 04. 2017 12:47

↑ Cynyc: preco na konci vyjde $\ln \frac{4}{\pi }$ ? mne tam stale vychadza $\ln \frac{2}{\pi }$ a neviem rpeco.

misaH · 15. 04. 2017 12:58

↑ green19:

Tak napíš postup.

green19 · 15. 04. 2017 13:07

↑ misaH: Dosadenim hranic do posledneho vzorca mam: $(\ln \text{tg}\frac{\pi }{4}-\ln\frac{\pi }{2})-(\ln \text{tg}0-\ln 0)=\ln 1-\ln \frac{\pi }{2}-\ln 0+\ln 0=\ln \frac{1}{\frac{\pi }{2}}=\ln \frac{2}{\pi }$ ?

jarrro · 15. 04. 2017 15:58

0 nemôžeš len tak dosadiť
$\lim_{x\to 0^+}{$\ln{\mathrm{tan}{\frac{x}{2}}}-\ln{x}$}=\ln{\lim_{x\to 0^+}{\frac{\mathrm{tan}{\frac{x}{2}}}{x}}}=-\ln{2}$

green19 · 15. 04. 2017 16:30

↑ jarrro: a preco je mozne urobit ten prechod od sumy k integralu?

Ferdish

↑ green19: Pretože aplikoval Riemannovu definíciu integrálu (integrál ako limita Riemannových súčtov funkcie pre postupne jemnejšie a jemnejšie delenie daného intervalu).

Cynyc · 15. 04. 2017 19:04

↑ green19: Ten příklad je s pravděpodobností hraničící s jistotou právě na přechodu k integrálu založen - nenapadá mě jiný způsob, jak v elementární analýze dojít k výsledku. Riemannův integrál se definuje tak, že se integrační interval rozdělí na interválky, šířky těch interválků se násobí supremem resp. infimem integrované funkce na těchto interválcích a tyto součiny se sečtou - když sečtu ty se suprémy, vyjde tzv. horní součet, který je větší nebo roven ploše pod grafem funkce, a ty s infimy dají dolní součet, který je zase menší nebo roven. A (trochu zjednodušeně) pokud se k sobě horní a dolní součty pro zkracující se interválky neomezeně blíží, říkáme té hodnotě, ke které se blíží, Riemannův integrál integrované funkce na integračním intervalu. Důležitá věta pak říká, že u spojité funkce nemusím dělat tuto složitou konstrukci, stačí interval rozdělit na n stejných interválků a jejich společnou délku násobit hodnotou funkce v jejich libovolném bodě (v případě tvé úlohy v pravém krajním) a sečíst. Pokud se z takových součtů udělá limita, vyjde Riemannův integrál. Formálně
$\lim_{n\to\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{m=1}^n f\left(a+\frac{m(b-a)}{n}\right)=(\mathrm{R})\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$
V tvojí úloze je $a=0$ , $b=\frac{\pi}{2}$ , takže $\frac{b-a}{n}=\frac{\pi}{2n}$ a $a+\frac{m(b-a)}{n}=\frac{m\pi}{2n}$ , což je přesně argument sinu ve jmenovateli prvního zlomku v sumě, druhý zlomek jsem upravil tak, aby se z něj také dalo vytknout $\frac{\pi}{2n}$ , a pak použil uvedený vzorec.

Ale ta úloha se mi zdá pro tebe dost obtížná, když dosazuješ nulu do logaritmu :-(