Matematické Fórum

udelion2 · 20. 04. 2017 03:34

Ahoj, nejde mi vyresit tohle to.. jestli musim neco vytknout nebo je jiny postup?
Kdo muze prosim pomoct?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/51911_Sni%25CC%2581mek%2Bobrazovky%2B2017-04-20%2Bv%25C2%25A03.31.18.png

vanok · 20. 04. 2017 05:03

Ahoj ↑ udelion2:,
Mozes pouzit vynasobenie " vhodnou jednotkou" a vyuzit vzorec a^2-b^2.
Vyjmy potom v citateli a v menovateli $\sqrt n$ a to ti umozni nast limitu ( nemusi byt vlastna)

Pavel · 20. 04. 2017 08:54

↑ vanok:

V tomto případě stačí vytknout člen $\sqrt n$ přímo ze zadání. Není nutno násobit "vhodnou jednotkou".

Cynyc · 20. 04. 2017 17:27 — Editoval Cynyc (20. 04. 2017 18:02)

↑ udelion2: Úlohy na limity iracionálních posloupností se obecně řeší takto:
1. Z každého součinového členu zkusíme vytknout největší mocninu. Tím se rozumí to, že je-li celá původní limita součin a/nebo podíl více členů, vytýkáme z nich zvlášť. V tvé úloze je jen jeden, v úlohách jako $\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-2}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1}}$ nebo $(\sqrt{n^2+n+1}-n-1)(\sqrt{n}-\sqrt[3]{n^2})$ dva, takže se bude vytýkat v prvním zvlášť z čitatele a ze jmenovatele, v druhém zvlášť z každé závorky.

Vytýkání se provádí zevnitř. Nejdřív vytkneš nejvyšší mocninu pod odmocninou:
$\sqrt{3n+1}-\sqrt{2n-3}=\sqrt{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}-\sqrt{n\left(2-\frac{3}{n}\right)}=*$ ,
pak se vzniklé součiny odmocní člen po členu:
$*=\sqrt{n}\sqrt{\left(3+\frac{1}{n}\right)}-\sqrt{n}\sqrt{\left(2-\frac{3}{n}\right)}=**$
a nyní se vytkne nejvyšší mocnina n z celého výrazu - v tomto případě je v obou členech stejná mocnina, $n^\frac{1}{2}$ :
$**=\sqrt{n}\left(\sqrt{\left(3+\frac{1}{n}\right)}-\sqrt{\left(2-\frac{3}{n}\right)}\right)$

2. Pokud bylo vytknuto správně, všechny členy zbytku po vytýkání už mají konečné limity - v tomto případě $\sqrt{3}$ a $\sqrt{2}$ , protože $\frac{1}{n}$ a tím samozřejmě i $\frac{3}{n}$ mají limitu nula. Můžeme tedy vyhodnotit limitu celého zbytku - v tomto případě je to $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ .
a) Pokud je tato hodnota nenulová (což zde je), můžeme celý výraz, ze kterého jsme vytýkali, v limitě nahradit vytknoutou mocninou n násobenou limitou zbytku:
$\lim\left(\sqrt{3n+1}-\sqrt{2n-3}\right)=\lim\sqrt{n}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=\infty$ ,
protože $\sqrt{n}$ má limitu $\infty$ a $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ je kladné číslo.
b) Pokud je tato hodnota nulová (a to bývá častější případ), vytknutí nám k ničemu není a musíme rozšiřovat podle vzorce $a^n-b^n$ , kde n je stupeň odmocniny v úloze. Příklad:
$\lim\left(\sqrt{n^2+n+1}-n-1\right)$
Vytknutí:

Zbytek má limitu 1-1=0, musíme tedy rozšiřovat, a to tak, abychom se zbavili odmocnin (v tomto případě jedné odmocniny). Máme rozdíl a-b, kde $a=\sqrt{n^2+n+1}$ , $b=n+1$ . Rozšíříme tedy celý výraz a+b, abychom v čitateli dostali podle vzorce $a^2-b^2$ , což zruší odmocniny:

Jmenovatel je nový výraz a provedeme na něj postup od začátku - vytkneme:
$\sqrt{n^2+n+1}-n-1=n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$
a zbytek má nenulovou limitu 2, kterou jej můžeme v limitě nahradit:
$***=\lim\frac{-n}{n\cdot 2}=-\frac{1}{2}$ .