Matematické Fórum

alixer · 26. 04. 2017 16:40 — Editoval alixer (26. 04. 2017 16:41)

Ahoj, mám úlohu, ve které mám zjistit, zda jsou dané množiny vektorové podprostory vektorového prostoru
$P_{3} = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} : a_{2}, a_{1}, a_{0} \in R\}$

, kde

$U = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \in P_{3} : a_{2}=2k \wedge a_{1} = 0 \wedge a_{0} = 2l, k , l \in \mathbb{Z} \}$
$V = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \in P_{3} : 2a_{2}+2a_{1}+2a_{0} =1 \}$

Chápu, co se musí ověřit.
Pro všechna x,y ∈ U a pro každé a ∈ R : 1, x + y ∈ U
2, a ⋅x ∈ U

Ze zadání vidím, že vektory z množiny U budou mít před x^2 sudé číslo, x bude chybět a absolutní člen bude také sudé číslo, takže například 4x^2+6. Taky vím, že sčítáním nic nerozbiju, dva takové sečtené vektory budou stále v tomto podprostoru, a násobením také nic nezkazím.. Tudiž U je podprostor P3. Nevim ale, jak to správně zapsat v řeči matematiky ?

Pro podprostor V se domnivam, že sčítáním dvou vektoru z tohoto podprostoru rozbiju vlastnost, že by se to mělo rovnat jedné.

Pritt · 26. 04. 2017 19:34 — Editoval Pritt (26. 04. 2017 19:52)

Ahoj, pokud ověřuješ, jestli je nějaká množina $M$ podprostorem prostoru $V$ nad tělesem $T$ , musí tato množina splňovat:
$1) M \neq \emptyset \nl 2) M \subset V \nl 3) \forall \vec x, \vec y \in M: \vec x + \vec y \in M \nl 4) \forall \vec x \in M, \forall \alpha \in T : \alpha \cdot \vec x \in M$

Nechť máme vektory $\vec x, \vec y \in U$
$1) \vec x + \vec y = (a_2x^2 + a_1x + a_0 ) + (b_2x^2 + b_1x + b_0) = (a_2 + b_2)x^2 + (a_1 + b_1)x + (a_0+b_0)$
ale protože $\vec x, \vec y \in U$ , potom pro čísla $a_2,a_1,a_0,b_2,b_1,b_0$ , platí:
$a_2 = 2k \wedge a_1 = 0 \wedge a_0 = 2l \wedge b_2 = 2m \wedge b_1 = 0 \wedge b_0 = 2n, k,l,m,n \in \mathbb{Z}$ , potom

$(a_2 + b_2)x^2 + (a_1 + b_1)x + (a_0+b_0) = (2k + 2m)x^2 + (0 + 0)x + (2l+2n) = 2(k+m)x^2 + 0\cdot x +2(l+n) = \nl = c_2x^2 + c_1x + c_0 \nl c_2 = 2s \wedge c_1=0 \wedge c_0 = 2r,\;\;\; r,s \in \mathbb{Z}$

takže z toho plyne, že i vektor, který je jejich součtem splňuje podmínku množiny $U$ , tedy $\vec x + \vec y \in U$ .

$U$ je uzavřená na sčítání.

Stačí jako ukázka správného zápisu?

V těchto příkladech je ale výhodnější zkusit si rozmyslet, jak je to s násobením.

alixer · 26. 04. 2017 19:44

↑ Pritt: Ano, děkuji mnohokrát. :) Jen bych se chtěl ještě zeptat, u druhého příkladu bude problém, že při sčítání vektorů nedojde k tomu, že by se výsledný vektor také rovnal jedné. Mám pravdu ? A tudíž to nebude podprostor.

Pritt · 26. 04. 2017 19:48

↑ alixer:

Ano, máš pravdu, nebo také stačí zkontrolovat, jestli v tomto prostoru leží $\vec 0$ . Ten dostaneš volbou $\alpha = 0$ .

A k tomu prvnímu příkladu, je $U$ uzavřená na násobení? Z jaké množiny je číslo $\alpha$ ?

alixer · 26. 04. 2017 19:55

↑ Pritt:
$\alpha$ je z množiny reálných čísel, a to by podmínku, že výsledný vektor bude mít sudý člen před x^2 a absolutním členem zkazit nemělo, protože ať už zvolím alfu jakoukoliv ( sudou, nebo lichou ), tak vynásobením s sudým číslem dostanu opět sudé číslo.. jen nevim teda, co kdybych to vynásobil nulou..

Pritt · 26. 04. 2017 19:59

↑ alixer:

A co když $\alpha = \pi \vee (\alpha = \dfrac{1}{2} \wedge \vec x = 2x^2 + 2)$ ?

alixer · 26. 04. 2017 20:02

↑ Pritt: a sakra :D Tohle mě vůbec nenapadlo.. Taková volba alfy zkazí tu podmínku.. Takže to U to není podprostor ?

Pritt · 26. 04. 2017 20:03

↑ alixer:

Ano - není :-)

alixer · 26. 04. 2017 20:06 — Editoval alixer (26. 04. 2017 20:06)

↑ Pritt: Takže při dokazování zda se jedná či nejedná o podprostor.. Při podezření, že to podprostor opravdu nebude, stačí jen dokázat na ( klidně konkrétnim příkladu, jako to pí ) že to nefunguje, a dál již není nutné nic dokazovat, že ? A tedy není nutné ověřovat, že sčítání funguje. ( u podprostoru U ) ( u Véčka stačí dokázat že to rozbije ta nepřítomnost nulového vektoru)

Pritt · 26. 04. 2017 20:14 — Editoval Pritt (26. 04. 2017 20:15)

↑ alixer:

Ano, stačí najít jeden protipříklad, protože z definice podprostor musí být uzavřený pro všechny jeho elementy a všechny čísla z tělesa, nad kterým je postaven.

alixer · 26. 04. 2017 20:34 — Editoval alixer (26. 04. 2017 20:35)

↑ Pritt:
$\overrightarrow{x} \in U : a_2 = 2k \wedge a_1 = 0 \wedge a_0 = 2l , k,l \in \mathbb{Z}$
$\alpha \in \mathbb{R} : \alpha =\pi$

$\overrightarrow{x}\cdot \alpha \in U ?$

$\alpha \cdot \overrightarrow{x} = \pi \cdot (2k\cdot x^{2}+0\cdot x + 2l) = (2k\cdot\pi ) x^{2} + ( 0\cdot\pi ) x+(2l\cdot \pi )$

$\Rightarrow (2k\cdot\pi ) \notin \mathbb{Z} \wedge (2l\cdot\pi ) \notin \mathbb{Z} \Rightarrow$ $\pi \cdot \overrightarrow{x} \notin U \Rightarrow$ U neni podprostor prostoru $P_{3}$

Lze to zapsat takto ??

Pritt · 26. 04. 2017 20:40 — Editoval Pritt (26. 04. 2017 20:41)

↑ alixer:

Ano dalo by se, až na pár technických detailů: zápis $\overrightarrow{x}\cdot \alpha \in U$ ,
ten není úplně přesný, neboť operace násobení vektoru číslem je definována (aspoň já to tak měl definované) jako $\alpha \cdot \vec x$ .

A také ti stačí ukázat, že $(2k\cdot\pi ) \notin \mathbb{Z} \vee (2l\cdot\pi ) \notin \mathbb{Z}$ ,
tedy že platí negace podmínky, tzn. jenom jeden z těch koeficientů nesplňuje onu podmínku.

Ale jinak je to v pořádku.

alixer · 26. 04. 2017 20:43

↑ Pritt: Dobrá. Moc děkuji za pomoct. To bude vše:)

vlado_bb · 26. 04. 2017 20:48

↑ alixer: V podstate aj ano, k poznamkam, ktore pise ↑ Pritt: by som dodal este dve, skor formalneho charakteru, suvisiace s istou kulturou vyjadrovania.

1. V dokaze mi chyba slovny komentar.

2. Ak idem najst kontrapriklad, tak skutocne ho aj najdem a nepokusam sa o akysi hybrid kontraprikladu a vseobecneho zapisu. Zaroven by mal byt prislusny kontrapriklad co najjednoduchsi, co sa o tomto povedat neda. Ja by som zvolil polynom $2x^2$ a $\alpha=\frac 12$ . Ocividne $x^2 \notin U$ .

Ale ako pisem, v poriadku je to aj tak, ako si napisal.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2017 16:40 — Editoval alixer (26. 04. 2017 16:41)

Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#2 26. 04. 2017 19:34 — Editoval Pritt (26. 04. 2017 19:52)

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#3 26. 04. 2017 19:44

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#4 26. 04. 2017 19:48

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#5 26. 04. 2017 19:55

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#6 26. 04. 2017 19:59

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#7 26. 04. 2017 20:02

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#8 26. 04. 2017 20:03

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#9 26. 04. 2017 20:06 — Editoval alixer (26. 04. 2017 20:06)

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#10 26. 04. 2017 20:14 — Editoval Pritt (26. 04. 2017 20:15)

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#11 26. 04. 2017 20:34 — Editoval alixer (26. 04. 2017 20:35)

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#12 26. 04. 2017 20:40 — Editoval Pritt (26. 04. 2017 20:41)

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#13 26. 04. 2017 20:43

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#14 26. 04. 2017 20:48

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

Zápatí