Matematické Fórum

hcdady · 07. 05. 2017 14:28

Dobrý den, mám prosbu potřeboval bych pomoc s příkladem derivace II. řádu.
Zadání je $z=\ln \frac{x+1}{y-1}$
a abych to nekomplikoval mohla by první derivace podle x vypadat takto?
$\frac{\delta z}{\delta x}=\frac{1}{\frac{x+1}{y-1}}.(1)=\frac{y-1}{x+1}$
, nebo je celý postup mimo?

Za pomoc dík

Al1 · 07. 05. 2017 14:37

↑ hcdady:

Zdravím,

ve výpočtu je chyba. $\frac{1}{\frac{x+1}{y-1}}$ je derivace logaritmu - to je dobře. Derivace vnitřní funkce ale není rovna jedné. Uvědom si, že $\frac{x+1}{y-1}=\frac{1}{y-1}\cdot (x+1)$ . A 1/(y-1) je konstanta v součinu.

hcdady · 07. 05. 2017 15:40

↑ Al1:
Aha tak jestli to dobře chápu tak by ta derivace podle x měla vypadat takto?
$\frac{\delta z}{\delta x}=\frac{1}{\frac{x+1}{y-1}}.[0.(x+1)+\frac{1}{y-1}.1]=\frac{1}{x+1}$

A derivace podle y by pak měla být takhle?
$\frac{\delta z}{\delta y}=\frac{1}{\frac{x+1}{y-1}}.[\frac{x+1}{1}.\frac{1}{y-1}]=\frac{y-1}{x+1}.[\frac{0.(y-1)-(x+1).1}{(y-1)^{2}}]=\frac{-1}{(y-1)^{2}}$

Každopádně děkuji za pomoc

Al1 · 07. 05. 2017 15:45

↑ hcdady:

Derivace podle x je už správně, podle y ale ne.
$\frac{x+1}{y-1}=\frac{1}{y-1}\cdot (x+1)$ , kde x+1 je konstanta v součinu. Ta ti někam ve výpočtu zmizela. A zmizelo i (y-1) v čitateli prvního zlomku, přitom jsi nekrátil proti jmenovateli. Podívej se na výpočet ještě jednou.

Rada: 1/(y-1)=(y-1)^(-1) můžeš derivovat ne jako podíl ale jako složenou funkci.

hcdady · 07. 05. 2017 16:04

$\frac{\delta z}{\delta y}=\frac{1}{\frac{x+1}{y-1}}.[0.(y-1)^{-1}+(x+1).(-(y-1)^{-2)}]=\frac{y-1}{x+1}.\frac{x+1}{-(y-1)^{2}}=- \frac{1}{y-1}$

Tak by to mohlo být takto?

misaH · 07. 05. 2017 16:16

http://m.wolframalpha.com/input/?i=deri … 9&y=12

Al1 · 07. 05. 2017 16:49

↑ hcdady:

Výsledek je správně, ale tvůj postup se mi nelíbí
$\frac{\delta z}{\delta y}=\frac{1}{\frac{x+1}{y-1}}\cdot (x+1)\cdot ((y-1)^{-1})'=(y-1)\cdot (-1)\cdot (y-1)^{-2}=...$

hcdady · 07. 05. 2017 17:38

↑ Al1:
No to vypadá jednodušeji než ten můj postup, a chtěl bych se zeptat ten první postup s podílem kromě toho, že jsem tam při přepisu zapomněl vykrátit to y-1 je taky řešení nebo to byla souhra chyb, že to vyšlo stejně.

Jinak ještě jednou díky.

Al1 · 07. 05. 2017 17:47 — Editoval Al1 (07. 05. 2017 17:47)

↑ hcdady:
Výpočet z příspěvku #3 :správně by bylo (derivujeme podíl)

$\frac{\delta z}{\delta y}=\frac{1}{\frac{x+1}{y-1}}\cdot\left(\frac{x+1}{y-1}\right)'=\frac{y-1}{x+1}\cdot \frac{0\cdot(y-1)-(x+1)\cdot1}{(y-1)^{2}}=\frac{-1}{(y-1)}$

Takže ano, chtělo to ještě pokrátit.

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2017 14:28

Parciální derivace II. řádu

#2 07. 05. 2017 14:37

Re: Parciální derivace II. řádu

#3 07. 05. 2017 15:40

Re: Parciální derivace II. řádu

#4 07. 05. 2017 15:45

Re: Parciální derivace II. řádu

#5 07. 05. 2017 16:04

Re: Parciální derivace II. řádu

#6 07. 05. 2017 16:16

Re: Parciální derivace II. řádu

#7 07. 05. 2017 16:49

Re: Parciální derivace II. řádu

#8 07. 05. 2017 17:38

Re: Parciální derivace II. řádu

#9 07. 05. 2017 17:47 — Editoval Al1 (07. 05. 2017 17:47)

Re: Parciální derivace II. řádu

Zápatí