Matematické Fórum

aak · 09. 05. 2017 13:46

Mám následující úlohu:

Necht c je nezáporné reálné číslo a u(n), n >=1, u(1)=1; posloupnost dána vztahem
$u_{n+1}= \sqrt{u_{n}+cn}$

1) Najděte takové číslo d, aby pro všechna n platilo:
$u_{n}< d*\sqrt{n}$

2) Najděte ekvivaletní vyjádření posloupnosti pro n jdoucí do nekonečna ve tvaru
$\alpha n^{\beta }$ , kde alfa a beta jsou reálná čísla

Byla bych moc vděčná za jakoukoliv radu či návod, nevím vůbec, jak se úlohy chopit..

Rumburak

↑ aak:

Tip k 1: $u_{n+1}= \sqrt{u_{n}+cn} = \sqrt{$\frac{u_n}{n} + c$} \cdot \sqrt{n}$ .

aak · 09. 05. 2017 15:12

↑ Rumburak:

Dekuji moc! Stejně si ale nevím moc rady..
rozepsala jsem si to jako
$\sqrt{(u_{n}/n+c)}*\sqrt{n}d\le d*\sqrt{n+1}$

(n+1) jsem si hodila na druhou stranu a rozdělila jsem zlomky pod odmocninou:

$\sqrt{\frac{u_{n}}{n(n+1)}+\frac{c}{n+1}+\frac{n}{n+1}}\le d$

kde druhý zlomek by měl jít k nule a třetí k jedné, ten první by měl konvergovat, ještě nevím k čemu...

nevím, nejspíš jsem úplně na špatné cestě...

Pavel · 09. 05. 2017 23:23

↑ aak:

Matematickou indukcí dokaž, že

$\sqrt{cn}<u_{n+1}<\sqrt{1+2cn}$

Využij k tomu odhad

$\sqrt{1+x}\leq 1+\frac x2$ , $x\geq 0$ .

Zbytek popsal už ↑ Rumburak:

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2017 13:46

Rekurentně zadaná posloupnost

#2 09. 05. 2017 14:25 — Editoval Rumburak (09. 05. 2017 14:28)

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

#3 09. 05. 2017 15:12

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

#4 09. 05. 2017 23:23

Re: Rekurentně zadaná posloupnost

Zápatí