Matematické Fórum

Issiriana · 10. 05. 2017 13:09

Zdravím,
mám zde 2 úlohy, se kterými bych potřebovala pomoct.

1. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte všechny úsečky XY, kde X leží na p, Y leží na k, a |AY|=3|AX|.

Zkoušela jsem si něco kreslit, ale řešení v tom nevidím. Také si nejsem jistá, jestli úloha bude mít řešení v obou případech, kdy bod A je ve stejné polorovině s kružnicí k, a v opačné. Prosím aspoň o nějaký návod, když mi bude jasné, kde a jak uplatnit stejnolehlost, příklad už pak snad zvládnu.

2. Je dána přímka t, ve stejné polorovině určené touto přímkou jsou dány dva různé body A, B tak, že jejich spojnice není ani kolmá k t, ani není rovnoběžná s t. Sestrojte všechny kružnice, které procházejí body A, B a zároveň se dotýkají přímky t.

Zde jsem si nakreslila osu úsečky AB, na ní se budou pohybovat středy kružnic. Teď už jenom nevím, jak zajistím stejnou vzdálenost k bodu A a přímce t.

Děkuji za rady.

Eratosthenes · 10. 05. 2017 15:14

ahoj ↑ Issiriana:

1. Využij stejnolehlosti se středem v bodě A a koeficientem 3 resp. 1/3

2. Mocnost bodu ke kružnici

PS: příště: jedno téma - jedna úloha

ViliX · 10. 05. 2017 15:17 — Editoval ViliX (10. 05. 2017 15:20)

↑ Issiriana:

Jsi si jistá, že příklad 2. je na stejnolehlost? Je to jedna z Apolloniových úloh a napadá mě jedině řešení za použití mocnosti bodu ke kružnici.

1. Nechť $M$ je průsečík přímky $AB$ a $p$ .
2. Sestroj kružnici $k$ , která má poloměr $\sqrt{|MA|\cdot|MB|}$ a střed $M$
3. Průsečíky kružnice $k$ a přímky $p$ označ $T_1, T_2$
4. Kružnice $ABT_1, ABT_2$ jsou výsledek

Šikovně je to rozebrané např. zde. Vychází to z toho, že $AB$ je sečna hledané kružnice a přímka $p$ její tečna. Body $T_1, T_2$ jsou body dotyku.

Issiriana · 10. 05. 2017 15:57

↑ Eratosthenes:

Myslela jsem, že úlohy spolu souvisí, tak jsem je dala do jednoho příspěvku. 1. úloha se mi podařila, doufám, že správně.

↑ ViliX:

Měla jsem to v maturitních příkladech na stejnolehlost, že se jedná o Apolloniovu úlohu mi došlo, ale jak to mám řešit už ne.
Mocnost bodu je kružnici mi vždycky dělala problém. Když hledám poloměr pro kružnici k, dá se to sestrojit nějak geometricky, nebo to mám aproximovat a spočítat?
Díky.

ViliX · 10. 05. 2017 16:01 — Editoval ViliX (10. 05. 2017 16:04)

↑ Issiriana:

Odmocninu z $X\cdot Y$ lze sestrojit například euklidovou větou o výšce.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/24783_euklid1.png

Ta říká, že $v^2 = c_a \cdot c_b$ , tudíž $v = \sqrt{c_a \cdot c_b}$ , stačí jen za $c_a, c_b$ dosadit $|MA|, |MB|$