Matematické Fórum

lucille

Mám dokázat, že u násobení celých čísel nezáleží na volbě konkrétních reprezentantů z třídy.

Mám celá čísla $\mathbb{Z}=\mathbb{N} \times\mathbb{N}/ \sim$
$(a,b)\sim(c,d) \Leftrightarrow a+d=b+c$
$\sim$ je ekvivalence - to mám dokázáno
Rozklad na třídy ekvivalence:
$\mathbb{Z}=\{T_{(a,b)}\}$
$T_{(a,b)}=\{(c,d)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}: (c,d)\sim(a,b)\}$
Násobení je pak definováno jako:
$T_{(a,b)}\cdot T_{(c,d)}=T_{(ac+bd, ad+bc)}$

Podobně mám dokázat totéž u reálných čísel, ale to mi třeba pak dojde. Zatím prosím o radu co s těmi celými (nechci celé řešení, jen nějakou nápovědu, jak s tím pracovat).

Eratosthenes · 22. 05. 2017 15:46

ahoj ↑ lucille:,

no tak vezmi dva libovolné reprezentanty a sečti je. Vezmi jiné dva reprezentanty stejných tříd, sečti je a ukaž, že ses dostal do stejné třídy, jako předtím.

vanok · 22. 05. 2017 15:47 — Editoval vanok (22. 05. 2017 17:46)

Ahoj ↑ lucille:,
Tu mas uzitocne citanie
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Constru … s_relatifs

lucille · 22. 05. 2017 16:27

↑ Eratosthenes:
Sečíst? Ok, takže součet je $T_{(a,b)}+T_{(c,d)}=T_{(a+c,b+d)}$
$(\overline{a},\overline{b})\sim (a,b)\Rightarrow \overline{a}+b=\overline{b}+a$
$(\overline{c},\overline{d})\sim (c,d)\Rightarrow\overline{c}+d=\overline{d}+c$

$T_{(a,b)}+T_{(c,d)}=T_{(a+c,b+d)}$
$T_{(\overline{a},\overline{b})}+T_{(\overline{c},\overline{d})}=T_{(\overline{a}+\overline{c},\overline{b}+\overline{d})}$

? $(a+c,b+d)\sim(\overline{a}+\overline{c},\overline{b}+\overline{d})$
Pokud je to ekvivalentní tak platí:
$\overline{a}+\overline{c}+b+d=\overline{b}+\overline{d}+a+c$
$\overline{a}+b+\overline{c}+d=a+\overline{b}+c+\overline{d}$
a to platí, protože $\overline{a}+b=\overline{b}+a$ a $\overline{c}+d=\overline{d}+c$

sčítání mi asi problém nedělá, ale to násobení. Má to vypadat podobně? Je myšlenka stejná - jen to rozepsat?

Eratosthenes · 22. 05. 2017 16:59

ahoj ↑ lucille:

myšlenka je stejná. Anebo můžeš využít toho, že (a;b)~(c;d) <=> existuje m tak, že a+m=c a b+m=d nebo a=c+m a b=d+m

lucille · 22. 05. 2017 17:58

nevím, nevím zkrátka, jak to dál rozepsat, aby to funfovalo.

$T_{(a,b)}\cdot T_{(c,d)}=T_{(ac+bd,ad+bc)}$
$T_{(\overline{a},\overline{b})}\cdot T_{(\overline{c},\overline{d})}=T_{(\overline{a}\overline{c}+\overline{b}\overline{d,}\overline{a}\overline{d}+\overline{b}\overline{c})}$

chci dokázat, že:
$(ac+bd,ad+bc) \sim (\overline{a}\overline{c}+\overline{b}\overline{d},\overline{a}\overline{d}+\overline{b}\overline{c})$

pokud to platí, bude:
$ac+bd+\overline{a}\overline{d}+\overline{b}\overline{c}=ad+bc+\overline{a}\overline{c}+\overline{b}\overline{d}$

Eratosthenes · 22. 05. 2017 21:50

↑ lucille:

Tak jsem se na to díval - je mnoho cest a jen málokterá vede do Říma :-)

Např:

(a;b)~(a';b') => a+b'= a'+b I
(c;d)~(c';d') => c+d'= c'+d II

I.c ac+b'c = a'c+bc
I.d (+ přehodit) strany a'd+bd = ad+b'd
II.a' a'c+a'd' = a'c'+a'd
II.b' (+ přehodit) strany b'c'+b'd = b'c+b'd'
---------------------
všechny čtyři rovnice sečti a provnej ss svým příspěvkem ↑ lucille:

vanok · 22. 05. 2017 23:50 — Editoval vanok (23. 05. 2017 00:12)

Ahoj ↑ lucille:,
Ako si pripomenula v tvojom prvom prispevku. Kazde cele cislo je definovane ako klasa dvojic dvoch prirodzenych cisiel ( tu je dobre predpokladat, ze aj 0 je prirodzene cislo).
V kazdej klase potom mame jedneho representa formy (0, d) alebo (d,0) a aj pripadne (0,0).
V dokazoch vyuzi tieto representanty.
( najdes ich aj v odkaze ktory som napisal vyssie...a iste si uz dobre zoznamena z nacrtom, kde je dobre ukazane $\mathbb Z$ pomocou klas ekvivalencie ,no v skole ste iste pracovali z tou ekvivalenciou).
Takto tvoje dokazy budu jednoduche a zrozumitelne pre kazdeho.

Na konstrukciu rationalnych cisiel a ich operacii da pouzivaju ine ekvivalencie ... ale duch dokazu je podobny..,,

lucille · 23. 05. 2017 17:16

↑ Eratosthenes:
super díky moc. ted už to samozřejmě funguje. Zkoušela jsem to násobit a sčítat podobně, ale nenapadlo mě prohodit strany, takže to nefungovalo.

Reálná čísla už jsem zvládla sama.

↑ vanok:
Bohužel nejsem úplně schopná číst anglicky :(
Myslela jsem si, že ve chvíli kdy použiju reprezentanty s nulou, nebude důkaz úplně obecný. V tomhle se vážně zatím nějak ztrácím. Každopádně díky za pomoc.

vanok · 23. 05. 2017 21:11

Ahoj
Ten text je po fr., no nevadi ....
Pred tym ako zacnes pracovat z $\Bbb R$ potrebujes racionalne cisla.
Na realne cisla aku metodu si pouzila?

Co sa tyka pracou s nulou dokaz je vseobecny, lebo taky représentant je v kazdej klase ( povie sa aj v triede).

Taketo dokazy sa vyzaduju casto od buducych ucitelov. To aj ty studujes ? Alebo sa o to zaujimas len ako osobnu zalubu?

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2017 15:32 — Editoval lucille (22. 05. 2017 15:34)

Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#2 22. 05. 2017 15:46

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#3 22. 05. 2017 15:47 — Editoval vanok (22. 05. 2017 17:46)

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#4 22. 05. 2017 16:27

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#5 22. 05. 2017 16:59

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#6 22. 05. 2017 17:58

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#7 22. 05. 2017 21:50

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#8 22. 05. 2017 23:50 — Editoval vanok (23. 05. 2017 00:12)

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#9 23. 05. 2017 17:16

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

#10 23. 05. 2017 21:11

Re: Důkaz:násobení celých (reálných) čísel nezávisí na volbě reprezentantů

Zápatí