Matematické Fórum

thatsmis

Prosím o pomoc s týmto príkladom:
Vypočítejte odchylku tečen sestrojených v prusečnicích grafu kvadratických funkcí $y_{1}=x^{2}-6x$ a $y_{2}=-x^{2}$ .

Mne to vychádza cca. 83°, ale má to vyjsť 80°32´. Tu je môj postup:

najprv som si vypočítala priesečníky grafu tak, že $y=y_{1}-y_{2}$ z toho som dostala
$y= 2x^{2}-6x$ . Dala som to rovné nule, aby som videla priesečník na osy x. Dostávam $P_{1} [0,0]$ a $P_{2} [3,-9]$ . Z toho som urobila rovnice tečien: $t_{1}: y=0$ a $t_{2}: y= -9x+27$ . Na odchylku som použila ich vektory a vypočítala cez vzorce na odchylku dvoch priamok. Kde robím chybu ?

Ďakujem

misaH · 28. 05. 2017 11:33

↑ thatsmis:

a) K čomu robíš tie dotyčnice?

b) Ako?

thatsmis · 28. 05. 2017 11:38

↑ misaH:
a)no myslím, že ich robím k tým funkciam v bodoch kde sa pretínajú ? nie som si moc istá

b) Ked $P_{1}[0,0]$ a dotynica tým bodom prechádza, povedala som si, že $P_{1}[x_{0},f'(x_{0})]$ , tým pádom $f (x_{0})= 2*0-6*0=0$ a to všetko som dosadila do vzorca $t: y-f(x_{0})=f'(x_{0})*(x-x_{0})$ a to sité som spravila pri bode $P_{2}[3,-9]$

misaH · 28. 05. 2017 11:48

↑ thatsmis:

Vieš, ale ja si neviem tú situáciu úplne predstaviť.

V bode [0;0] sú predsa dve dotyčnice - jedna ku grafu prvej funkcie, druhá ku grafu druhej.

Podobne v druhom bode dotyku.

thatsmis · 28. 05. 2017 11:56

↑ misaH: a podľa toho zadania to nevieš vypočítať ? :(

misaH · 28. 05. 2017 12:05 — Editoval misaH (28. 05. 2017 12:16)

↑ thatsmis:

Ten uhol je cca 80°32' (80,54°) v obidvoch prípadoch.

Ak sa nemýlim:

Rovnice dotyčníc v počiatku sú

y=0 a y=-6x

V druhom bode

y=-9 a y=-6x+9

Dotyčnice sú po dvoch rovnobežné, takže uhly pri bodoch dotyku sú zhodné.

Akojeto · 28. 05. 2017 12:35

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/67667_IMG_1514.PNG

thatsmis · 28. 05. 2017 14:34

↑ misaH: ahaa už viem ako na tie dotyčnice. ale neviem čo robím v tom druhom bode mi nevychádza $y=-6x+9$ .

toto je môj výpočet:
y=kx+q , dosadím $P_{2}[3,-9]$ , dostávam rovnicu $y=kx-3k-9$ . potom hľadám dotyčnicu nasledovne:
$kx-3k-9=2x^{2}-6x$
$2x^{2}+x(-6-k)+3k+9=0$
viem, že diskriminant má byť rovný nule,tak pokračujem: $(-6-k)^{2}-4*2*(-3k-9)=0$

z toho dostávam : $k^{2}-12k-36=0$ a korenmi tejto rovnice sú $k_{1,2}= 6(1\pm \sqrt{2})$

tebe vyšla smernica -6 aj v druhom bode, nerozumiem kde mám zase chybu

misaH · 28. 05. 2017 14:49 — Editoval misaH (28. 05. 2017 15:18)

No.

Priesečníky ti vyšli, tak som sa v tom nechcela paprať.

Ale priesečník grafov oboch daných funkcií zistíš tak, že riešiš ronicu

$y_1=y_2$ ,

teda

$x^2-6x=-x^2$ .

Odtiaľ dostaneš súradnice priesečníkov.

Čo je to $y=2x^2-6x$ - tak to netuším...

misaH · 28. 05. 2017 15:07

Dotyčnica ku grafu funkcie $y=x^2-6x$ v bode [0;0]:

Podľa známeho vzťahu pre dotyčnicu v bode platí:

$y-y_T=k_t(x-x_T)$ , kde $k_t=f'(x_T)$

Potom

$f'(x)=2x-6$ a v bode dotyku $f'(0)=2\cdot 0-6=-6$

To je smernica 1 dotyčnice. Dotyčnica má rovnicu

$y-0=-6(x-0)$ , teda $y=-6x$